ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = \frac{1}{4x + 1} \);

2) \( y = \frac{1}{1 — 4x} \).

Построение графиков функций

1) График функции y = 1 / (4x + 1)

Для построения графика функции y = 1 / (4x + 1), выполните следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = 1 / x, который представляет собой гиперболу с асимптотами на осях x и y;
• Перемещаем график на 1 единицу влево. Это изменение происходит из-за сдвига 4x + 1, который сдвигает гиперболу влево;
• Сжимаем график в 4 раза по оси ординат. Это приводит к тому, что функция становится более крутой, так как вертикальный масштаб уменьшается;

2) График функции y = 1 / (1 — 4x)

Для построения графика функции y = 1 / (1 — 4x), выполните следующие шаги:

• Сначала строим график функции y = 1 / x, как и в предыдущем случае;
• Перемещаем график на 1 единицу влево. Это сдвигает гиперболу влево на 1 единицу;
• Отражаем график относительно оси ординат. Это изменяет направление гиперболы;
• Сжимаем график в 4 раза по оси ординат, что приводит к более крутой форме функции.

Построение графиков функций

1) График функции y = 1 / (4x + 1)

Для построения графика функции y = 1 / (4x + 1), выполним следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график стандартной функции y = 1 / x. Это гипербола, которая имеет асимптоты на осях x и y. Функция стремится к нулю, но никогда не достигает осей, создавая форму, которая выглядит как две ветви, расходящиеся в разных направлениях.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу влево. Для этого в уравнении функции появляется слагаемое +1 в знаменателе. Это означает, что мы сдвигаем гиперболу вдоль оси x на 1 единицу влево. После этого вершина гиперболы будет располагаться в точке x = -1.
• Шаг 3: Сжимаем график в 4 раза по оси ординат. Это изменение происходит из-за множителя 4 перед x в знаменателе. Сжимаем график по вертикали, что делает его более крутым. Теперь для каждого значения x, значение функции y будет меньше, чем для стандартного графика 1/x.
• Шаг 4: Парабола теперь будет выглядеть сжимающейся по оси ординат и сдвинутой влево, где вертикальный масштаб будет уменьшен, а горизонтальный масштаб будет сдвинут влево.

После выполнения этих шагов, график функции y = 1 / (4x + 1) будет гиперболой, с асимптотами, сжимающейся в 4 раза по оси ординат и сдвинутой влево.

2) График функции y = 1 / (1 — 4x)

Для построения графика функции y = 1 / (1 — 4x), выполним следующие шаги:

• Шаг 1: Сначала строим график функции y = 1 / x, как в первом примере. Это гипербола с асимптотами на осях x и y. График имеет форму двух ветвей, одна из которых расположена в правой верхней части, а другая — в левой нижней части координатной плоскости.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу влево. Это происходит из-за изменения выражения в знаменателе 1 — 4x. Таким образом, сдвигаем гиперболу на 1 единицу влево относительно её начального положения, что приводит к перемещению её вершины.
• Шаг 3: Отражаем график относительно оси ординат. Это отражение происходит из-за наличия коэффициента перед x. Теперь ветви гиперболы, которые ранее располагались в правой и левой частях координатной плоскости, меняют своё направление: одна ветвь будет находиться в левой верхней части, а другая — в правой нижней части.
• Шаг 4: Сжимаем график в 4 раза по оси ординат. Парабола становится более крутой, потому что коэффициент 4 в выражении 1 — 4x увеличивает скорость изменения функции, делая её более «пологой» по вертикали. График теперь будет более вертикальным, чем стандартная гипербола y = 1 / x.

После выполнения всех этих шагов, график функции y = 1 / (1 — 4x) будет гиперболой, отражённой относительно оси ординат, сжимающейся по оси ординат в 4 раза и перемещённой влево.