ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 2.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = 2\sqrt{3x — 1} + 1 \);

2) \( y = 3(2x + 1)^2 — 2 \).

Построение графиков функций

1) График функции y = 2√(3x — 1) + 1

Для построения графика функции y = 2√(3x — 1) + 1, выполняем следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график функции y = √x. Это стандартный график, представляющий собой параболу, которая открывается вверх, с вершиной в точке (0, 0);
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это происходит из-за выражения 3x — 1 внутри квадратного корня, которое требует сдвига вдоль оси x на 1 единицу вправо;
• Шаг 3: Сжимаем график в 3 раза по оси ординат. Это сжатие происходит из-за множителя 2, который влияет на вертикальный масштаб графика, делая его более крутым;
• Шаг 4: Растягиваем график в 2 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит, так как изменение перед x (множитель 3) заставляет функцию расти быстрее, сдвигая график по оси x;
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вверх, так как добавление постоянного члена +1 сдвигает график на 1 единицу вверх.

2) График функции y = 3(2x + 1)² — 2

Для построения графика функции y = 3(2x + 1)² — 2, выполняем следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график функции y = x². Это стандартный график параболы с вершиной в начале координат (0, 0);
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу влево. Это связано с выражением 2x + 1 внутри скобок, которое сдвигает график вдоль оси x;
• Шаг 3: Сжимаем график в 2 раза по оси ординат. Это происходит из-за множителя 3 перед квадратом, что влияет на вертикальный масштаб функции, делая её более крутой;
• Шаг 4: Растягиваем график в 3 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 2 перед x в выражении (2x + 1), которое заставляет график расти быстрее вдоль оси x;
• Шаг 5: Перемещаем график на 2 единицы вниз, так как постоянное слагаемое -2 сдвигает график вниз по оси y.

Построение графиков функций

1) График функции y = 2√(3x — 1) + 1

Для построения графика функции y = 2√(3x — 1) + 1, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Начинаем с построения базового графика функции y = √x. Этот график представляет собой параболу, открывающуюся вверх с вершиной в точке (0, 0). График симметричен относительно оси y, и для каждого значения x график будет увеличиваться, приближаясь к нулю на оси y.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу вправо. Это изменение происходит из-за выражения 3x — 1 внутри квадратного корня. Когда 3x — 1 = 0, x = 1. Таким образом, график сдвигается вправо на 1 единицу, и вершина параболы теперь будет находиться в точке (1, 0).
• Шаг 3: Сжимаем график в 3 раза по оси ординат. Это происходит из-за множителя 2 перед квадратным корнем. В данном случае вертикальные значения функции будут уменьшены в 2 раза, что сделает график более крутым. Для каждого значения x значение y будет в два раза больше, чем у стандартного графика y = √x, делая параболу более вертикальной.
• Шаг 4: Растягиваем график в 2 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 3, который влияет на горизонтальный масштаб. График будет расширяться вдоль оси x, что приведёт к более пологому росту функции по мере увеличения x.
• Шаг 5: Перемещаем график на 1 единицу вверх. Этот шаг связан с добавлением постоянного члена +1 к функции. Сдвиг на 1 единицу вверх означает, что вся парабола будет смещена вдоль оси y, и её вершина теперь будет в точке (1, 1), а не в точке (1, 0), как в предыдущем шаге.

После выполнения всех этих шагов график функции y = 2√(3x — 1) + 1 будет представлять собой параболу, с вершиной в точке (1, 1), сжимающуюся в 3 раза по оси ординат, растянутую в 2 раза по оси абсцисс, и сдвинутую вправо и вверх.

2) График функции y = 3(2x + 1)² — 2

Для построения графика функции y = 3(2x + 1)² — 2, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Строим график стандартной функции y = x². Это базовый график параболы с вершиной в начале координат (0, 0). График симметричен относительно оси y и открывается вверх.
• Шаг 2: Перемещаем график на 1 единицу влево. Это связано с выражением (2x + 1), которое сдвигает график вдоль оси x. Мы получаем сдвиг графика на 1 единицу влево, так как 2x + 1 = 0 при x = -1/2. Теперь вершина параболы будет в точке (-1/2, 0).
• Шаг 3: Сжимаем график в 2 раза по оси ординат. Это происходит из-за множителя 3 перед квадратом (2x + 1). Этот множитель увеличивает скорость роста функции, делая график более крутым, так как вертикальные значения функции будут увеличены в 3 раза по сравнению с графиком y = x².
• Шаг 4: Растягиваем график в 3 раза по оси абсцисс. Это растяжение происходит из-за множителя 2 перед x. Увеличение множителя перед x приводит к тому, что график будет расти быстрее вдоль оси x. Парабола станет более вытянутой по горизонтали.
• Шаг 5: Перемещаем график на 2 единицы вниз. Это сдвиг по оси y, вызванный постоянным членом -2. Вершина параболы, которая была в точке (-1/2, 0), теперь будет в точке (-1/2, -2), и весь график будет расположен ниже оси x.

После выполнения всех шагов график функции y = 3(2x + 1)² — 2 будет представлять собой параболу, с вершиной в точке (-1/2, -2), сжимающуюся в 2 раза по оси ординат, растянутую в 3 раза по оси абсцисс, и сдвинутую влево и вниз.