Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( 1 — \cos^2 a; \)
2) \( \sin^2 \beta — 1; \)
3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1; \)
4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a; \)
5) \( \cos a \cdot \tan a; \)
6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1; \)
7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \sin^2 a; \)
8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a}; \)
9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta; \)
10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2. \)
Упростить выражение:
1) \( 1 — \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a; \)
Ответ: \( \sin^2 a \).
2) \( \sin^2 \beta — 1 = \sin^2 \beta — (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = — \cos^2 \beta; \)
Ответ: \( — \cos^2 \beta \).
3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1 = 1 + 1 = 2; \)
Ответ: 2.
4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a = 1 — (\sin^2 3a + \cos^2 3a) = 1 — 1 = 0; \)
Ответ: 0.
5) \( \cos a \cdot \tan a = \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a; \)
Ответ: \( \sin a \).
6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1 = (1 + \tan^2 a) — 1 = \tan^2 a; \)
Ответ: \( \tan^2 a \).
7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \sin^2 a = 1 — \sin^2 a + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \sin^2 a = \)
\[
= (\sin^2 a + \cos^2 a) — \sin^2 a + \cos^2 a = 2 \cos^2 a;
\]
Ответ: \( 2 \cos^2 a \).
8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a} = \cos^2 a + \cot^2 a — (1 + \cot^2 a) = \)
\[
= \cos^2 a — 1 = \cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) = — \sin^2 a;
\]
Ответ: \( — \sin^2 a \).
9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta = \)
\[
=\frac{\sin^2 \beta}{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) — \sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 1;
\]
Ответ: 1.
10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 = \)
\[= (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a) + (\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a) =\]
\[= 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2;\]
Ответ: 2.
Упростить выражение:
1) \( 1 — \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a; \)
Ответ: \( \sin^2 a \).
Данное выражение использует основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), которое позволяет упростить \( 1 — \cos^2 a \) до \( \sin^2 a \).
2) \( \sin^2 \beta — 1 = \sin^2 \beta — (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = — \cos^2 \beta; \)
Ответ: \( — \cos^2 \beta \).
Здесь также используется тригонометрическое тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \), что позволяет преобразовать выражение в \( — \cos^2 \beta \).
3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1 = 1 + 1 = 2; \)
Ответ: 2.
Здесь мы видим просто сложение, где \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 \), и прибавление 1 даёт 2.
4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a = 1 — (\sin^2 3a + \cos^2 3a) = 1 — 1 = 0; \)
Ответ: 0.
Используя тождество \( \sin^2 3a + \cos^2 3a = 1 \), мы видим, что \( 1 — 1 = 0 \).
5) \( \cos a \cdot \tan a = \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a; \)
Ответ: \( \sin a \).
Здесь мы заменили \( \tan a \) на его определение \( \frac{\sin a}{\cos a} \), и после сокращения \( \cos a \) в числителе и знаменателе остаётся \( \sin a \).
6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1 = (1 + \tan^2 a) — 1 = \tan^2 a; \)
Ответ: \( \tan^2 a \).
Используя тождество \( 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \), мы получаем выражение, которое после вычитания 1 даёт \( \tan^2 a \).
7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \sin^2 a = 1 — \sin^2 a + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \sin^2 a = \)
\[
= (\sin^2 a + \cos^2 a) — \sin^2 a + \cos^2 a = 2 \cos^2 a;
\]
Ответ: \( 2 \cos^2 a \).
Здесь мы сначала используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), а затем упрощаем выражение, получая \( 2 \cos^2 a \).
8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a} = \cos^2 a + \cot^2 a — (1 + \cot^2 a) = \)
\[
= \cos^2 a — 1 = \cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) = — \sin^2 a;
\]
Ответ: \( — \sin^2 a \).
Здесь мы снова применяем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что упрощает выражение до \( — \sin^2 a \).
9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta = \)
\[
= \frac{\sin^2 \beta}{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) — \sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 1;
\]
Ответ: 1.
Здесь мы используем тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \), что позволяет упростить выражение до 1.
10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 = \)
\[= (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a) + (\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a)=\]
\[= 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2;\]
Ответ: 2.
Здесь мы используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что позволяет упростить выражение до 2.
