ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( 1 — \cos^2 a; \)

2) \( \sin^2 \beta — 1; \)

3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1; \)

4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a; \)

5) \( \cos a \cdot \tan a; \)

6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1; \)

7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \sin^2 a; \)

8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a}; \)

9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta; \)

10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2. \)

Упростить выражение:

1) \( 1 — \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a; \)

Ответ: \( \sin^2 a \).

2) \( \sin^2 \beta — 1 = \sin^2 \beta — (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = — \cos^2 \beta; \)

Ответ: \( — \cos^2 \beta \).

3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1 = 1 + 1 = 2; \)

Ответ: 2.

4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a = 1 — (\sin^2 3a + \cos^2 3a) = 1 — 1 = 0; \)

Ответ: 0.

5) \( \cos a \cdot \tan a = \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a; \)

Ответ: \( \sin a \).

6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1 = (1 + \tan^2 a) — 1 = \tan^2 a; \)

Ответ: \( \tan^2 a \).

7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \sin^2 a = 1 — \sin^2 a + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \sin^2 a = \)

\[
= (\sin^2 a + \cos^2 a) — \sin^2 a + \cos^2 a = 2 \cos^2 a;
\]

Ответ: \( 2 \cos^2 a \).

8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a} = \cos^2 a + \cot^2 a — (1 + \cot^2 a) = \)

\[
= \cos^2 a — 1 = \cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) = — \sin^2 a;
\]

Ответ: \( — \sin^2 a \).

9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta = \)

\[
=\frac{\sin^2 \beta}{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) — \sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 1;
\]

Ответ: 1.

10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 = \)

\[= (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a) + (\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a) =\]

\[= 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2;\]

Ответ: 2.

Упростить выражение:

1) \( 1 — \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) — \cos^2 a = \sin^2 a; \)

Ответ: \( \sin^2 a \).

Данное выражение использует основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), которое позволяет упростить \( 1 — \cos^2 a \) до \( \sin^2 a \).

2) \( \sin^2 \beta — 1 = \sin^2 \beta — (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = — \cos^2 \beta; \)

Ответ: \( — \cos^2 \beta \).

Здесь также используется тригонометрическое тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \), что позволяет преобразовать выражение в \( — \cos^2 \beta \).

3) \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi + 1 = 1 + 1 = 2; \)

Ответ: 2.

Здесь мы видим просто сложение, где \( \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 \), и прибавление 1 даёт 2.

4) \( 1 — \sin^2 3a — \cos^2 3a = 1 — (\sin^2 3a + \cos^2 3a) = 1 — 1 = 0; \)

Ответ: 0.

Используя тождество \( \sin^2 3a + \cos^2 3a = 1 \), мы видим, что \( 1 — 1 = 0 \).

5) \( \cos a \cdot \tan a = \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sin a; \)

Ответ: \( \sin a \).

Здесь мы заменили \( \tan a \) на его определение \( \frac{\sin a}{\cos a} \), и после сокращения \( \cos a \) в числителе и знаменателе остаётся \( \sin a \).

6) \( \frac{1}{\cos^2 a} — 1 = (1 + \tan^2 a) — 1 = \tan^2 a; \)

Ответ: \( \tan^2 a \).

Используя тождество \( 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \), мы получаем выражение, которое после вычитания 1 даёт \( \tan^2 a \).

7) \( 1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \sin^2 a = 1 — \sin^2 a + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot \sin^2 a = \)
\[
= (\sin^2 a + \cos^2 a) — \sin^2 a + \cos^2 a = 2 \cos^2 a;
\]

Ответ: \( 2 \cos^2 a \).

Здесь мы сначала используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), а затем упрощаем выражение, получая \( 2 \cos^2 a \).

8) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a} = \cos^2 a + \cot^2 a — (1 + \cot^2 a) = \)
\[
= \cos^2 a — 1 = \cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) = — \sin^2 a;
\]

Ответ: \( — \sin^2 a \).

Здесь мы снова применяем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что упрощает выражение до \( — \sin^2 a \).

9) \( \frac{\sin^2 \beta}{1 — \sin^2 \beta} \cdot \cot^2 \beta = \)
\[
= \frac{\sin^2 \beta}{(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) — \sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 1;
\]

Ответ: 1.

Здесь мы используем тождество \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \), что позволяет упростить выражение до 1.

10) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 = \)

\[= (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a) + (\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a)=\]

\[= 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2;\]

Ответ: 2.

Здесь мы используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что позволяет упростить выражение до 2.