Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( a \), если:
1) \( \cos a = \frac{12}{13} \) и \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);
2) \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{4} \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \);
3) \( \tan a = -\frac{1}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
4) \( \cot a = -7 \) и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \).
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( a \), если:
1) \( \cos a = \frac{12}{13} \) и \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит первой четверти:
\[\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{144}{169}}=\]
\[= \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13};\]
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{12}{5} = 2,4;
\]
2) \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{4} \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти:
\[\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{3}{16}}=\]
\[= -\sqrt{\frac{16}{16} — \frac{3}{16}} = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4};\]
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{-\frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3};
\]
3) \( \tan a = -\frac{1}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
Угол \( a \) принадлежит четвертой четверти:
\[\cos a = + \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2}}=\]
\[= \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{9 + 1}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10};\]
\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 2 \cdot \left( — \frac{\sqrt{10}}{10} \right) = — \frac{\sqrt{10}}{5};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{- \frac{1}{3}} = -3.
\]
4) \( \cot a = -7 \) и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \);
Угол \( a \) принадлежит второй четверти:
\[\sin a = + \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -7 \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 49}}=\]
\[= \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10};\]
\[
\cos a = \cot a \cdot \sin a = -7 \cdot \frac{1}{10} = -\frac{7}{10};
\]
\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}.
\]
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( a \), если:
1) \( \cos a = \frac{12}{13} \) и \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Подставляем значение \( \cos a = \frac{12}{13} \) в это тождество:
\[\sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{144}{169}}=\]
\[= \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}.\]
Ответ: \( \sin a = \frac{5}{13} \).
Для нахождения значения тангенса:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}.
\]
Ответ: \( \tan a = \frac{5}{12} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{12}{5} = 2,4.
\]
Ответ: \( \cot a = 2,4 \).
2) \( \sin a = -\frac{\sqrt{3}}{4} \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти, где синус отрицателен, а косинус и тангенс положительны. Для нахождения косинуса используем основное тождество:
\[\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{3}{16}}=\]
\[= -\sqrt{\frac{16}{16} — \frac{3}{16}} = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4}.\]
Ответ: \( \cos a = -\frac{\sqrt{13}}{4} \).
Для нахождения значения тангенса:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{-\frac{\sqrt{13}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}.
\]
Ответ: \( \tan a = \frac{\sqrt{39}}{13} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3}.
\]
Ответ: \( \cot a = \frac{\sqrt{39}}{3} \).
3) \( \tan a = -\frac{1}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
Угол \( a \) принадлежит четвертой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен. Для нахождения косинуса используем тождество:
\[\cos a = + \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2}}=\]
\[= \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{9}}} = \sqrt{\frac{9}{9 + 1}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.\]
Ответ: \( \cos a = \frac{3\sqrt{10}}{10} \).
Для нахождения синуса:
\[\sin a = \tan a \cdot \cos a = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=\]
\[= -\frac{\sqrt{10}}{10}.\]
Ответ: \( \sin a = -\frac{\sqrt{10}}{10} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{- \frac{1}{3}} = -3.
\]
Ответ: \( \cot a = -3 \).
4) \( \cot a = -7 \) и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \);
Угол \( a \) принадлежит второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Для нахождения синуса используем:
\[\sin a = + \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -7 \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 49}}=\]
\[= \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}.\]
Ответ: \( \sin a = \frac{1}{10} \).
Для нахождения косинуса:
\[
\cos a = \cot a \cdot \sin a = -7 \cdot \frac{1}{10} = -\frac{7}{10}.
\]
Ответ: \( \cos a = -\frac{7}{10} \).
Для нахождения тангенса:
\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}.
\]
Ответ: \( \tan a = -\frac{1}{7} \).
