Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cos a} = \cos a — \sin a; \)
2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a; \)
3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)
4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)
5) \( \frac{\sin a + \tan a}{1 + \cos a} = \tan a; \)
6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a. \)
Докажите тождество:
1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \cos a — \sin a; \)
\[
(\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) = \cos a — \sin a;
\]
\[
(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cdot \cos a) = \cos a — \sin a;
\]
\[
\cos a — \sin a = \cos a — \sin a;
\]
Тождество доказано.
2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin^2 a; \)
\[
\tan^2 a — \tan^2 a \cdot \sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
\[
\tan^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) — \sin^2 a = 0;
\]
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
\[
\sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
\( 0 = 0; \)
Тождество доказано.
3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)
\[
\frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} — \frac{\cos a + 1}{\sqrt{3} + 2 \sin a} = 0;
\]
\[
(\sqrt{3} — 2 \sin a)(\sqrt{3} + 2 \sin a) — (2 \cos a + 1)(2 \cos a — 1) = 0;
\]
\[
(3 — 4 \sin^2 a)(4 \cos^2 a — 1) = 0;
\]
\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]
\[
4 — 4 (\sin^2 a + \cos^2 a) = 0;
\]
\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]
\[
4 — 4 = 0;
\]
Тождество доказано.
Докажите тождество:
4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)
\[
\frac{\cos^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^6 a;
\]
\[
\sin^2 a = \tan^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
\[
\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = -\cot^6 a;
\]
Тождество доказано.
5) \( \sin a + \tan a = \tan a; \)
\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;
\]
\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{\cos a} = \tan a;
\]
\[
\sin a \cdot \cos a + \sin a = \tan a;
\]
\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a;
\]
\[
\tan a = \tan a;
\]
Тождество доказано.
6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a; \)
\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]
\[
\sin^2 a : \frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a} = \tan^4 a;
\]
\[
\sin^2 a \cdot \sin^2 a = \tan^4 a;
\]
\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a \cdot \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]
\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a} = \tan^4 a;
\]
\[
\tan a = \tan^4 a;
\]
Тождество доказано.
Докажите тождество:
1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \cos a — \sin a; \)
Раскроем левую часть:
\[
(\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) = \cos a — \sin a;
\]
Теперь преобразуем:
\[
(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cdot \cos a) = \cos a — \sin a;
\]
Получаем:
\[
\cos a — \sin a = \cos a — \sin a;
\]
Тождество доказано.
2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin^2 a; \)
Преобразуем:
\[
\tan^2 a — \tan^2 a \cdot \sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
Вынесем общий множитель:
\[
\tan^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) — \sin^2 a = 0;
\]
Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
Упрощаем:
\[
\sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]
Ответ: \( 0 = 0; \)
Тождество доказано.
3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} — \frac{\cos a + 1}{\sqrt{3} + 2 \sin a} = 0;
\]
Далее раскроем скобки:
\[
(\sqrt{3} — 2 \sin a)(\sqrt{3} + 2 \sin a) — (2 \cos a + 1)(2 \cos a — 1) = 0;
\]
Упрощаем:
\[
(3 — 4 \sin^2 a)(4 \cos^2 a — 1) = 0;
\]
Заменяем \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \):
\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]
Подставляем в выражение:
\[
4 — 4 (\sin^2 a + \cos^2 a) = 0;
\]
Получаем:
\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]
В итоге:
\[
4 — 4 = 0;
\]
Тождество доказано.
4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)
Преобразуем:
\[
\frac{\cos^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^6 a;
\]
Используем тождество:
\[
\sin^2 a = \tan^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
Получаем:
\[
\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = -\cot^6 a;
\]
Тождество доказано.
5) \( \sin a + \tan a = \tan a; \)
Преобразуем:
\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;
\]
Записываем:
\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{\cos a} = \tan a;
\]
Получаем:
\[
\sin a \cdot \cos a + \sin a = \tan a;
\]
И в итоге:
\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a;
\]
Таким образом:
\[
\tan a = \tan a;
\]
Тождество доказано.
6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a; \)
Преобразуем:
\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]
Раскрываем:
\[
\sin^2 a : \frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a} = \tan^4 a;
\]
Преобразуем:
\[
\sin^2 a \cdot \sin^2 a = \tan^4 a;
\]
В итоге:
\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a \cdot \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]
Делаем вывод:
\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a} = \tan^4 a;
\]
Таким образом:
\[
\tan a = \tan^4 a;
\]
Тождество доказано.
