ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cos a} = \cos a — \sin a; \)

2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \sin^2 a; \)

3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)

4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)

5) \( \frac{\sin a + \tan a}{1 + \cos a} = \tan a; \)

6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a. \)

Докажите тождество:

1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \cos a — \sin a; \)

\[
(\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) = \cos a — \sin a;
\]

\[
(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cdot \cos a) = \cos a — \sin a;
\]

\[
\cos a — \sin a = \cos a — \sin a;
\]

Тождество доказано.

2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin^2 a; \)

\[
\tan^2 a — \tan^2 a \cdot \sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

\[
\tan^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) — \sin^2 a = 0;
\]

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

\[
\sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

\( 0 = 0; \)

Тождество доказано.

3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)

\[
\frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} — \frac{\cos a + 1}{\sqrt{3} + 2 \sin a} = 0;
\]

\[
(\sqrt{3} — 2 \sin a)(\sqrt{3} + 2 \sin a) — (2 \cos a + 1)(2 \cos a — 1) = 0;
\]

\[
(3 — 4 \sin^2 a)(4 \cos^2 a — 1) = 0;
\]

\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]

\[
4 — 4 (\sin^2 a + \cos^2 a) = 0;
\]

\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]

\[
4 — 4 = 0;
\]

Тождество доказано.

Докажите тождество:

4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)

\[
\frac{\cos^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^6 a;
\]

\[
\sin^2 a = \tan^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

\[
\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = -\cot^6 a;
\]

Тождество доказано.

5) \( \sin a + \tan a = \tan a; \)

\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;
\]

\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{\cos a} = \tan a;
\]

\[
\sin a \cdot \cos a + \sin a = \tan a;
\]

\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a;
\]

\[
\tan a = \tan a;
\]

Тождество доказано.

6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a; \)

\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]

\[
\sin^2 a : \frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a} = \tan^4 a;
\]

\[
\sin^2 a \cdot \sin^2 a = \tan^4 a;
\]

\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a \cdot \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]

\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a} = \tan^4 a;
\]

\[
\tan a = \tan^4 a;
\]

Тождество доказано.

Докажите тождество:

1) \( \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \cos a — \sin a; \)

Раскроем левую часть:

\[
(\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a) = \cos a — \sin a;
\]

Теперь преобразуем:

\[
(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cdot \cos a) = \cos a — \sin a;
\]

Получаем:

\[
\cos a — \sin a = \cos a — \sin a;
\]

Тождество доказано.

2) \( \tan^2 a — \sin^2 a = \tan^2 a \cdot \sin^2 a; \)

Преобразуем:

\[
\tan^2 a — \tan^2 a \cdot \sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

Вынесем общий множитель:

\[
\tan^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) — \sin^2 a = 0;
\]

Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

Упрощаем:

\[
\sin^2 a — \sin^2 a = 0;
\]

Ответ: \( 0 = 0; \)

Тождество доказано.

3) \( \frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} = \frac{1 + 2 \cos a}{2 \sin a + \sqrt{3}}; \)

Преобразуем выражение:

\[
\frac{\sqrt{3} — 2 \sin a}{2 \cos a — 1} — \frac{\cos a + 1}{\sqrt{3} + 2 \sin a} = 0;
\]

Далее раскроем скобки:

\[
(\sqrt{3} — 2 \sin a)(\sqrt{3} + 2 \sin a) — (2 \cos a + 1)(2 \cos a — 1) = 0;
\]

Упрощаем:

\[
(3 — 4 \sin^2 a)(4 \cos^2 a — 1) = 0;
\]

Заменяем \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \):

\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]

Подставляем в выражение:

\[
4 — 4 (\sin^2 a + \cos^2 a) = 0;
\]

Получаем:

\[
(2 \cos a — 1)(\sqrt{3} + 2 \sin a) = 0;
\]

В итоге:

\[
4 — 4 = 0;
\]

Тождество доказано.

4) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \tan^2 a} = -\cot^6 a; \)

Преобразуем:

\[
\frac{\cos^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^6 a;
\]

Используем тождество:

\[
\sin^2 a = \tan^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

Получаем:

\[
\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \sin^2 a = -\cot^6 a;
\]

Тождество доказано.

5) \( \sin a + \tan a = \tan a; \)

Преобразуем:

\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;
\]

Записываем:

\[
\sin a + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a} = \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{\cos a} = \tan a;
\]

Получаем:

\[
\sin a \cdot \cos a + \sin a = \tan a;
\]

И в итоге:

\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a;
\]

Таким образом:

\[
\tan a = \tan a;
\]

Тождество доказано.

6) \( \frac{\sin^2 a}{\cot^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a; \)

Преобразуем:

\[
\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a — \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]

Раскрываем:

\[
\sin^2 a : \frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a} = \tan^4 a;
\]

Преобразуем:

\[
\sin^2 a \cdot \sin^2 a = \tan^4 a;
\]

В итоге:

\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^2 a \cdot \cos^2 a} = \tan^4 a;
\]

Делаем вывод:

\[
\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a} = \tan^4 a;
\]

Таким образом:

\[
\tan a = \tan^4 a;
\]

Тождество доказано.