Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a \cos^2 a + \sin^2 a \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)
2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cos^2 a; \)
3) \( 1 + (\cot^2 a — \tan^2 a)\cos^2 a = \cot^2 a. \)
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot ( \sin^2 a + \cos^2 a ) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
Тождество доказано.
2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cdot \cos^2 a; \)
\[
\cot^2 a — \cot^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a = 0;
\]
\[
\cot^2 a \cdot (1 — \cos^2 a) — \cos^2 a = 0;
\]
\[
\cos^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a = 0;
\]
\[
0 = 0;
\]
Тождество доказано.
3) \( 1 + \left( \cot^2 a — \tan^2 a \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a; \)
\[
1 + \left( \cot^2 a — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
\[
1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
\[
\cos^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
\[
\cos^2 a \cdot (1 + \cot^2 a) = \cot^2 a;
\]
\[
\cos^2 a \cdot \left( 1 — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) = \cot^2 a;
\]
\[
\cot^2 a = \cot^2 a;
\]
Тождество доказано.
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)
Раскроем левую часть:
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot ( \sin^2 a + \cos^2 a ) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
Теперь используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы упростить:
\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]
Таким образом, мы пришли к одинаковым выражениям с обеих сторон, что и требовалось доказать. Тождество доказано.
2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Рассмотрим левую часть:
\[
\cot^2 a — \cot^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a = 0;
\]
Вынесем общий множитель \( \cot^2 a \) из первых двух членов:
\[
\cot^2 a \cdot (1 — \cos^2 a) — \cos^2 a = 0;
\]
Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы преобразовать:
\[
\cos^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a = 0;
\]
Упростив, получаем:
\[
0 = 0;
\]
Таким образом, тождество доказано.
3) \( 1 + \left( \cot^2 a — \tan^2 a \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a; \)
Начнем с раскрытия скобок:
\[
1 + \left( \cot^2 a — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
Упростим выражение:
\[
1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
Теперь, группируя подобные слагаемые, получаем:
\[
\cos^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]
Вынесем \( \cos^2 a \) за скобки:
\[
\cos^2 a \cdot (1 + \cot^2 a) = \cot^2 a;
\]
Подставим \( 1 + \cot^2 a = \csc^2 a \):
\[
\cos^2 a \cdot \csc^2 a = \cot^2 a;
\]
Теперь подставляем \( \csc^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \):
\[
\cot^2 a = \cot^2 a;
\]
Тождество доказано.
