ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \sin^4 a \cos^2 a + \sin^2 a \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)

2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cos^2 a; \)

3) \( 1 + (\cot^2 a — \tan^2 a)\cos^2 a = \cot^2 a. \)

Докажите тождество:

1) \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot ( \sin^2 a + \cos^2 a ) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

Тождество доказано.

2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cdot \cos^2 a; \)

\[
\cot^2 a — \cot^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a = 0;
\]

\[
\cot^2 a \cdot (1 — \cos^2 a) — \cos^2 a = 0;
\]

\[
\cos^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a = 0;
\]

\[
0 = 0;
\]

Тождество доказано.

3) \( 1 + \left( \cot^2 a — \tan^2 a \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a; \)

\[
1 + \left( \cot^2 a — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

\[
1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

\[
\cos^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

\[
\cos^2 a \cdot (1 + \cot^2 a) = \cot^2 a;
\]

\[
\cos^2 a \cdot \left( 1 — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) = \cot^2 a;
\]

\[
\cot^2 a = \cot^2 a;
\]

Тождество доказано.

Докажите тождество:

1) \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \sin^2 a \cdot \cos^4 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)

Раскроем левую часть:

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot ( \sin^2 a + \cos^2 a ) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

Теперь используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы упростить:

\[
\sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a;
\]

Таким образом, мы пришли к одинаковым выражениям с обеих сторон, что и требовалось доказать. Тождество доказано.

2) \( \cot^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Рассмотрим левую часть:

\[
\cot^2 a — \cot^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a = 0;
\]

Вынесем общий множитель \( \cot^2 a \) из первых двух членов:

\[
\cot^2 a \cdot (1 — \cos^2 a) — \cos^2 a = 0;
\]

Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы преобразовать:

\[
\cos^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a = 0;
\]

Упростив, получаем:

\[
0 = 0;
\]

Таким образом, тождество доказано.

3) \( 1 + \left( \cot^2 a — \tan^2 a \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a; \)

Начнем с раскрытия скобок:

\[
1 + \left( \cot^2 a — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \right) \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

Упростим выражение:

\[
1 — \sin^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

Теперь, группируя подобные слагаемые, получаем:

\[
\cos^2 a + \cot^2 a \cdot \cos^2 a = \cot^2 a;
\]

Вынесем \( \cos^2 a \) за скобки:

\[
\cos^2 a \cdot (1 + \cot^2 a) = \cot^2 a;
\]

Подставим \( 1 + \cot^2 a = \csc^2 a \):

\[
\cos^2 a \cdot \csc^2 a = \cot^2 a;
\]

Теперь подставляем \( \csc^2 a — \cos^2 a = \cot^2 a \):

\[
\cot^2 a = \cot^2 a;
\]

Тождество доказано.