Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a + \cos^4 a — \sin^6 a — \cos^6 a = \sin^2 a \cos^2 a; \)
2) \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3 \sin^2 a \cos^2 a = 1. \)
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a + \cos^4 a — \sin^6 a — \cos^6 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
\( \sin^4 a \cdot (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a \cdot (1 — \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
\( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \cos^4 a \cdot \sin^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Ответ: Тождество доказано.
2) \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)
\( \sin^6 a + (\cos^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)
Подставляем идентичность для \( \cos^2 a \):
\( \sin^6 a + (1 — \sin^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) = 1; \)
\( \sin^6 a + (1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) + 3 \sin^2 a — 3 \sin^4 a = 1; \)
В итоге получаем:
\( 1 = 1; \)
Ответ: Тождество доказано.
Докажите тождество:
1) \( \sin^4 a + \cos^4 a — \sin^6 a — \cos^6 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Для начала, перепишем выражение, используя разность квадратов. Мы можем представить \( \sin^4 a \) и \( \cos^4 a \) как произведения двух квадратов:
\( \sin^4 a \cdot (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a \cdot (1 — \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Теперь сосредоточимся на следующем шаге: произведение \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a \) и \( \cos^4 a \cdot \sin^2 a \) можно упростить до:
\( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \cos^4 a \cdot \sin^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Далее, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), получаем следующее упрощение:
\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Так как \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), то результат сводится к:
\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)
Ответ: Тождество доказано.
2) \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)
Рассмотрим выражение для \( \cos^6 a \). Мы можем выразить это как \( (\cos^2 a)^3 \), что упрощает дальнейшие шаги:
\( \sin^6 a + (\cos^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)
Заменим \( \cos^2 a \) на \( 1 — \sin^2 a \), так как \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):
\( \sin^6 a + (1 — \sin^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) = 1; \)
Теперь раскроем куб и произведение:
\( \sin^6 a + (1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) + 3 \sin^2 a — 3 \sin^4 a = 1; \)
После упрощения все члены, содержащие \( \sin^6 a \) и \( \sin^4 a \), сокращаются:
\( 1 = 1; \)
Ответ: Тождество доказано.
