ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( \sin^4 a + \cos^4 a — \sin^6 a — \cos^6 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

\( \sin^4 a \cdot (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a \cdot (1 — \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

\( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \cos^4 a \cdot \sin^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Ответ: Тождество доказано.

2) \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)

\( \sin^6 a + (\cos^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)

Подставляем идентичность для \( \cos^2 a \):

\( \sin^6 a + (1 — \sin^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) = 1; \)

\( \sin^6 a + (1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) + 3 \sin^2 a — 3 \sin^4 a = 1; \)

В итоге получаем:

\( 1 = 1; \)

Ответ: Тождество доказано.

Докажите тождество:

1) \( \sin^4 a + \cos^4 a — \sin^6 a — \cos^6 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Для начала, перепишем выражение, используя разность квадратов. Мы можем представить \( \sin^4 a \) и \( \cos^4 a \) как произведения двух квадратов:

\( \sin^4 a \cdot (1 — \sin^2 a) + \cos^4 a \cdot (1 — \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Теперь сосредоточимся на следующем шаге: произведение \( \sin^4 a \cdot \cos^2 a \) и \( \cos^4 a \cdot \sin^2 a \) можно упростить до:

\( \sin^4 a \cdot \cos^2 a + \cos^4 a \cdot \sin^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Далее, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), получаем следующее упрощение:

\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Так как \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), то результат сводится к:

\( \sin^2 a \cdot \cos^2 a = \sin^2 a \cdot \cos^2 a; \)

Ответ: Тождество доказано.

2) \( \sin^6 a + \cos^6 a + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)

Рассмотрим выражение для \( \cos^6 a \). Мы можем выразить это как \( (\cos^2 a)^3 \), что упрощает дальнейшие шаги:

\( \sin^6 a + (\cos^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot \cos^2 a = 1; \)

Заменим \( \cos^2 a \) на \( 1 — \sin^2 a \), так как \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \):

\( \sin^6 a + (1 — \sin^2 a)^3 + 3 \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) = 1; \)

Теперь раскроем куб и произведение:

\( \sin^6 a + (1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) + 3 \sin^2 a — 3 \sin^4 a = 1; \)

После упрощения все члены, содержащие \( \sin^6 a \) и \( \sin^4 a \), сокращаются:

\( 1 = 1; \)

Ответ: Тождество доказано.