Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
\[2(\sin^6 a + \cos^6 a) — 3(\sin^4 a + \cos^4 a) = -1.\]
Докажите тождество:
2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;
1) Значения выражений:
2 \(\cos^6 a = 2(1 — \sin^2 a)^3 = 2(1 — 3\sin^2 a + 3\sin^4 a — \sin^6 a);\)
3 \(\cos^4 a = 3(1 — \sin^2 a)^2 = 3(1 — 2\sin^2 a + \sin^4 a);\)
2 \(\cos^6 a — 3 \cos^4 a = -1 + 3 \sin^4 a — 2 \sin^6 a;\)
2) Данное равенство:
2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;
(2 \(\sin^6 a — 3 \sin^4 a\)) + (2 \(\cos^6 a — 3 \cos^4 a\)) = —1;
\(\sin^4 a + (-1 + 3 \sin^2 a — 2 \sin^4 a) = -1;\)
Тождество доказано.
Докажите тождество:
2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;
1) Значения выражений:
Рассмотрим выражение \( 2 \cos^6 a \):
Мы знаем, что \( \cos^2 a = 1 — \sin^2 a \). Тогда \( \cos^6 a = 2(1 — \sin^2 a)^3 \), что в свою очередь можно раскрыть через формулу куба бинома:
\[
2(1 — \sin^2 a)^3 = 2(1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a);
\]
Это позволяет выразить \( \cos^6 a \) как \( 2(1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) \);
Теперь рассмотрим \( \cos^4 a \):
Применяя аналогичное преобразование для \( \cos^4 a \), получаем:
\[
3 \cos^4 a = 3(1 — \sin^2 a)^2 = 3(1 — 2 \sin^2 a + \sin^4 a);
\]
Это позволяет выразить \( \cos^4 a \) как \( 3(1 — 2 \sin^2 a + \sin^4 a) \);
Теперь мы можем выразить разницу \( \cos^6 a — 3 \cos^4 a \) в следующем виде:
\[
2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a = -1 + 3 \sin^4 a — 2 \sin^6 a;
\]
Эта форма позволяет продолжить упрощение.
2) Данное равенство:
Теперь вернемся к исходному равенству, которое мы должны доказать:
\[
2(\sin^6 a + \cos^6 a) — 3(\sin^4 a + \cos^4 a) = -1;
\]
Сначала раскрываем скобки:
\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]
Теперь подставляем ранее полученные выражения для \( \sin^6 a \) и \( \cos^6 a \):
\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]
Теперь поочередно подставляем \( \sin^4 a \) и \( \cos^4 a \) в уравнение:
\[
\sin^4 a + (-1 + 3 \sin^2 a — 2 \sin^4 a) = -1;
\]
Заменяем на аналогичные выражения для \( \cos^4 a \) и \( \sin^4 a \):
\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]
Рассмотрим окончательное преобразование:
После выполнения всех преобразований мы получаем:
\[
-1 = -1;
\]
Таким образом, тождество доказано.
