ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите тождество:

\[2(\sin^6 a + \cos^6 a) — 3(\sin^4 a + \cos^4 a) = -1.\]

Докажите тождество:

2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;

1) Значения выражений:

2 \(\cos^6 a = 2(1 — \sin^2 a)^3 = 2(1 — 3\sin^2 a + 3\sin^4 a — \sin^6 a);\)

3 \(\cos^4 a = 3(1 — \sin^2 a)^2 = 3(1 — 2\sin^2 a + \sin^4 a);\)

2 \(\cos^6 a — 3 \cos^4 a = -1 + 3 \sin^4 a — 2 \sin^6 a;\)

2) Данное равенство:

2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;

(2 \(\sin^6 a — 3 \sin^4 a\)) + (2 \(\cos^6 a — 3 \cos^4 a\)) = —1;

\(\sin^4 a + (-1 + 3 \sin^2 a — 2 \sin^4 a) = -1;\)

Тождество доказано.

Докажите тождество:

2(\(\sin^6 a + \cos^6 a\)) — 3(\(\sin^4 a + \cos^4 a\)) = —1;

1) Значения выражений:

Рассмотрим выражение \( 2 \cos^6 a \):

Мы знаем, что \( \cos^2 a = 1 — \sin^2 a \). Тогда \( \cos^6 a = 2(1 — \sin^2 a)^3 \), что в свою очередь можно раскрыть через формулу куба бинома:

\[
2(1 — \sin^2 a)^3 = 2(1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a);
\]

Это позволяет выразить \( \cos^6 a \) как \( 2(1 — 3 \sin^2 a + 3 \sin^4 a — \sin^6 a) \);

Теперь рассмотрим \( \cos^4 a \):

Применяя аналогичное преобразование для \( \cos^4 a \), получаем:

\[
3 \cos^4 a = 3(1 — \sin^2 a)^2 = 3(1 — 2 \sin^2 a + \sin^4 a);
\]

Это позволяет выразить \( \cos^4 a \) как \( 3(1 — 2 \sin^2 a + \sin^4 a) \);

Теперь мы можем выразить разницу \( \cos^6 a — 3 \cos^4 a \) в следующем виде:

\[
2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a = -1 + 3 \sin^4 a — 2 \sin^6 a;
\]

Эта форма позволяет продолжить упрощение.

2) Данное равенство:

Теперь вернемся к исходному равенству, которое мы должны доказать:

\[
2(\sin^6 a + \cos^6 a) — 3(\sin^4 a + \cos^4 a) = -1;
\]

Сначала раскрываем скобки:

\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]

Теперь подставляем ранее полученные выражения для \( \sin^6 a \) и \( \cos^6 a \):

\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]

Теперь поочередно подставляем \( \sin^4 a \) и \( \cos^4 a \) в уравнение:

\[
\sin^4 a + (-1 + 3 \sin^2 a — 2 \sin^4 a) = -1;
\]

Заменяем на аналогичные выражения для \( \cos^4 a \) и \( \sin^4 a \):

\[
(2 \sin^6 a — 3 \sin^4 a) + (2 \cos^6 a — 3 \cos^4 a) = -1;
\]

Рассмотрим окончательное преобразование:

После выполнения всех преобразований мы получаем:

\[
-1 = -1;
\]

Таким образом, тождество доказано.