ГДЗ Мерзляк 10 Класс Базовый Уровень по Алгебре Номировский Учебник 📕 Поляков — Все Части

Алгебра Базовый Уровень

10 класс учебник Мерзляк

10 класс

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Поляков В.М.

Издательство

Вентана-граф.

Тип книги

Учебник.

Год

2019.

Описание

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Задача

Докажите значение выражения:

1) \( \frac{5 \cos a + 6 \sin a}{3 \sin a — 7 \cos a} \), если \( \tan a = \frac{1}{2} \);

2) \( \frac{\sin a \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} \), если \( \cot a = \frac{3}{4} \).

Краткий ответ:

Найти значение выражения

\[
1) \frac{5 \cos a + 6 \sin a}{3 \sin a — 7 \cos a} =\]

\[=\frac{\frac{5 \cos a}{\cos a} + \frac{6 \sin a}{\cos a}}{\frac{3 \sin a}{\cos a} — \frac{7 \cos a}{\cos a}} =\]

\[=\frac{5 + 6 \tan a}{3 \tan a — 7}\]

Если \(\displaystyle \tan a = \frac{1}{2}\), тогда:

\[
\frac{5 + 6 \tan a}{3 \tan a — 7} = \frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} — 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} — 7} = \frac{8}{\frac{3}{2} — 7}
\]

Вычислим знаменатель:

\[
\frac{3}{2} — 7 = \frac{3}{2} — \frac{14}{2} = -\frac{11}{2}
\]

Следовательно:

\[
\frac{8}{-\frac{11}{2}} = 8 \cdot \left(-\frac{2}{11}\right) = -\frac{16}{11} = -1 \frac{5}{11}
\]

Ответ: \(-1 \frac{5}{11} \).

\[
2)\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} =\]

\[=\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} \cdot \frac{\frac{1}{\sin^2 a}}{\frac{1}{\sin^2 a}} =\]

\[=\frac{\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} =\]

\[=\frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{1 — \cot^2 a} = \frac{\cot a}{1 — \cot^2 a}\]

Если \(\displaystyle \cot a = \frac{3}{4}\), тогда:

\[\frac{\cot a}{1 — \cot^2 a} = \frac{\frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2}=\]

\[= \frac{\frac{3}{4}}{1 — \frac{9}{16}}=\]

\[= \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7}=\]

\[= \frac{48}{28} = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}\]

Ответ: \( 1 \frac{5}{7} \).

Подробный ответ:

Найти значение выражения

1) Выражение:

\[
\frac{5 \cos a + 6 \sin a}{3 \sin a — 7 \cos a}
\]

Для упрощения выражения разделим числитель и знаменатель на \(\cos a\), чтобы выразить через \(\tan a\):

\[\frac{5 \cos a + 6 \sin a}{3 \sin a — 7 \cos a} =\]

\[=\frac{\frac{5 \cos a}{\cos a} + \frac{6 \sin a}{\cos a}}{\frac{3 \sin a}{\cos a} — \frac{7 \cos a}{\cos a}} =\]

\[=\frac{5 + 6 \tan a}{3 \tan a — 7}\]

Подставим значение \(\displaystyle \tan a = \frac{1}{2}\):

\[
\frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} — 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} — 7} = \frac{8}{\frac{3}{2} — 7}
\]

Вычислим знаменатель дроби:

\[
\frac{3}{2} — 7 = \frac{3}{2} — \frac{14}{2} = -\frac{11}{2}
\]

Подставим обратно:

\[
\frac{8}{-\frac{11}{2}} = 8 \times \left(-\frac{2}{11}\right) = -\frac{16}{11}
\]

Это можно записать как смешанное число:

\[
-\frac{16}{11} = -1 \frac{5}{11}
\]

Ответ: \(-1 \frac{5}{11} \).

2) Выражение:

\[
\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}
\]

Для упрощения умножим и разделим дробь на \(\frac{1}{\sin^2 a}\):

\[\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} \times \frac{\frac{1}{\sin^2 a}}{\frac{1}{\sin^2 a}} =\]

\[=\frac{\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} =\]

\[=\frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{1 — \cot^2 a}\]

Обозначим \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\), тогда выражение примет вид:

\[
\frac{\cot a}{1 — \cot^2 a}
\]

Подставим \(\displaystyle \cot a = \frac{3}{4}\):

\[
\frac{\frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 — \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{48}{28} = \frac{12}{7}
\]

Переведём в смешанное число:

\[
\frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}
\]

Ответ: \(1 \frac{5}{7}\)

Оцени решение