Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.17 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Дано: \( \sin a + \cos a = b \). Найдите:
1) \( \sin a \cos a; \)
2) \( \sin^3 a + \cos^3 a; \)
3) \( \sin^4 a + \cos^4 a. \)
Известно, что \(\sin a + \cos a = b\). Найти:
1) Найдем \(\sin a \cdot \cos a\):
\[\sin a \cdot \cos a = \frac{1 + 2 \sin a \cdot \cos a — 1}{2} =\]
\[=\frac{\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a — 1}{2} =\]
\[=\frac{(\sin a + \cos a)^2 — 1}{2} =\]
\[=\frac{b^2 — 1}{2}\]
Ответ: \({\frac{b^2 — 1}{2}}\)
2) Найдем \(\sin^3 a + \cos^3 a\):
Используем формулу суммы кубов:
\[\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)^3-\]
\[- 3 \sin a \cdot \cos a (\sin a + \cos a)\]
Подставим \(b = \sin a + \cos a\) и выражение для \(\sin a \cdot \cos a\) из пункта 1:
\[= b^3 — 3 \cdot \frac{b^2 — 1}{2} \cdot b =b^3 — \frac{3b (b^2 — 1)}{2}=\]
\[=\frac{2b^3 — 3b (b^2 — 1)}{2}\]
Раскроем скобки в числителе:
\[
2b^3 — 3b^3 + 3b = -b^3 + 3b = 3b — b^3
\]
Итоговое выражение:
\[
\sin^3 a + \cos^3 a = \frac{3b — b^3}{2} = \frac{b(3 — b^2)}{2}
\]
Ответ: \(\frac{b(3 — b^2)}{2}\)
3) \(\sin^4 a + \cos^4 a\), если \(\sin a + \cos a = b\)
Решение:
\[\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2-\]
\[- 2 \sin^2 a \cdot \cos^2 a\]
Так как \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), то:
\[= 1^2 — 2 (\sin a \cdot \cos a)^2 = 1 — 2 \left(\frac{b^2 — 1}{2}\right)^2=\]
\[= 1 — \frac{(b^2 — 1)^2}{2}\]
Раскроем квадрат в числителе:
\[
(b^2 — 1)^2 = b^4 — 2 b^2 + 1
\]
Подставим обратно:
\[\sin^4 a + \cos^4 a = 1 — \frac{b^4 — 2 b^2 + 1}{2}=\]
\[= \frac{2 — (b^4 — 2 b^2 + 1)}{2} = \frac{1 + 2 b^2 — b^4}{2}\]
Ответ: \(\frac{1 + 2 b^2 — b^4}{2}\)
Подробное решение задачи: выражения через \(b = \sin a + \cos a\)
1) Найдем \(\sin a \cdot \cos a\)
Начнем с квадрата суммы синуса и косинуса:
\[(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a +\]
\[+ 2 \sin a \cos a + \cos^2 a\]
Известно, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), значит:
\[
b^2 = 1 + 2 \sin a \cos a
\]
Выразим произведение \(\sin a \cos a\):
\[2 \sin a \cos a = b^2 — 1 \quad \Rightarrow \quad \sin a \cos a=\]
\[= \frac{b^2 — 1}{2}\]
Ответ: \({\frac{b^2 — 1}{2}}\)
2) Найдем \(\sin^3 a + \cos^3 a\)
= b^3 — 3 \cdot \frac{b^2 — 1}{2} \cdot b = b^3 — \frac{3b (b^2 — 1)}{2}
\]
= \frac{2b^3 — 3b(b^2 — 1)}{2}
\]
2b^3 — 3b^3 + 3b = -b^3 + 3b
\]
\sin^3 a + \cos^3 a = \frac{3b — b^3}{2} = \frac{b(3 — b^2)}{2}
\]
3) Найдем \(\sin^4 a + \cos^4 a\)
Используем формулу для суммы четвёртых степеней через квадраты:
\[\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a)^2 + (\cos^2 a)^2 =\]
\[= (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 — 2 \sin^2 a \cos^2 a\]
Известно, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), значит:
\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1 — 2 \sin^2 a \cos^2 a
\]
Обратим внимание, что \(\sin^2 a \cos^2 a = (\sin a \cos a)^2\). Подставим найденное ранее значение:
\[\sin^4 a + \cos^4 a = 1 — 2 \left(\frac{b^2 — 1}{2}\right)^2=\]
\[= 1 — 2 \cdot \frac{(b^2 — 1)^2}{4} = 1 — \frac{(b^2 — 1)^2}{2}\]
Раскроем квадрат в числителе:
\[
(b^2 — 1)^2 = b^4 — 2 b^2 + 1
\]
Подставим обратно:
\[\sin^4 a + \cos^4 a = 1 — \frac{b^4 — 2 b^2 + 1}{2}=\]
\[= \frac{2}{2} — \frac{b^4 — 2 b^2 + 1}{2}=\]
\[= \frac{2 — b^4 + 2 b^2 — 1}{2} = \frac{1 + 2 b^2 — b^4}{2}\]
Ответ: \(\frac{1 + 2 b^2 — b^4}{2}\)
