Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Дано: \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \). Найдите:
1) \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \);
2) \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha \).
Известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \), найдите:
1) \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 — 2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha = b^2 — 2; \)
Ответ: \( b^2 — 2 \).
2) \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha =\)
\(= (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 — 3 \tan^2 \alpha \cdot \cot \alpha — 3 \tan \alpha \cdot \cot^2 \alpha=\)
\(= b^3 — 3 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \cdot (\tan \alpha + \cot \alpha)= b^3 — 3b = b(b^2 — 3); \)
Ответ: \( b(b^2 — 3) \).
Известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \). Требуется найти выражения для суммы квадратов и кубов тангенса и котангенса угла \( \alpha \).
1) Рассмотрим выражение \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \). Используем формулу разложения суммы квадратов через квадрат суммы и удвоенное произведение:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 — 2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \).
Из условия известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \), следовательно, квадрат суммы равен \( b^2 \):
\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = b^2 \).
Далее, произведение тангенса и котангенса равно 1, так как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), а их произведение:
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 \).
Подставим это значение в выражение:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = b^2 — 2 \cdot 1 = b^2 — 2 \).
Таким образом, ответ для первой части:
Ответ: \( b^2 — 2 \).
2) Теперь найдём сумму кубов \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha \). Воспользуемся формулой для суммы кубов двух чисел через сумму и произведение:
\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 — 3xy(x + y) \), где \( x = \tan \alpha \), \( y = \cot \alpha \).
Тогда:
\( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 — 3 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \cdot (\tan \alpha + \cot \alpha) \).
Подставляя известные значения, получаем:
\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 = b^3 \),
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \),
следовательно:
\( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = b^3 — 3 \cdot 1 \cdot b = b^3 — 3b = b (b^2 — 3) \).
Таким образом, ответ для второй части:
Ответ: \( b(b^2 — 3) \).
