ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.18 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано: \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \). Найдите:

1) \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \);

2) \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha \).

Известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \), найдите:

1) \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 — 2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha = b^2 — 2; \)

Ответ: \( b^2 — 2 \).

2) \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha =\)

\(= (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 — 3 \tan^2 \alpha \cdot \cot \alpha — 3 \tan \alpha \cdot \cot^2 \alpha=\)

\(= b^3 — 3 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \cdot (\tan \alpha + \cot \alpha)= b^3 — 3b = b(b^2 — 3); \)

Ответ: \( b(b^2 — 3) \).

Известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \). Требуется найти выражения для суммы квадратов и кубов тангенса и котангенса угла \( \alpha \).

1) Рассмотрим выражение \( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \). Используем формулу разложения суммы квадратов через квадрат суммы и удвоенное произведение:

\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 — 2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \).

Из условия известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = b \), следовательно, квадрат суммы равен \( b^2 \):

\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = b^2 \).

Далее, произведение тангенса и котангенса равно 1, так как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), а их произведение:

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 \).

Подставим это значение в выражение:

\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = b^2 — 2 \cdot 1 = b^2 — 2 \).

Таким образом, ответ для первой части:

Ответ: \( b^2 — 2 \).

2) Теперь найдём сумму кубов \( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha \). Воспользуемся формулой для суммы кубов двух чисел через сумму и произведение:

\( x^3 + y^3 = (x + y)^3 — 3xy(x + y) \), где \( x = \tan \alpha \), \( y = \cot \alpha \).

Тогда:

\( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 — 3 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \cdot (\tan \alpha + \cot \alpha) \).

Подставляя известные значения, получаем:

\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 = b^3 \),

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \),

следовательно:

\( \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = b^3 — 3 \cdot 1 \cdot b = b^3 — 3b = b (b^2 — 3) \).

Таким образом, ответ для второй части:

Ответ: \( b(b^2 — 3) \).