ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \( \sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha \).

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения: \( \sin^2 a + 2 \cos^2 a \);

1) Преобразуем выражение:

\( \sin^2 a + 2 \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) + \cos^2 a = 1 + \cos^2 a \);

2) Множество значений:

\( -1 \le \cos a \le 1; \)

\( 0 \le \cos^2 a \le 1; \)

\( 1 \le 1 + \cos^2 a \le 2; \)

Ответ: 1; 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения \( \sin^2 a + 2\cos^2 a \).

Запишем фундаментальное тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и представим исходное выражение в виде суммы этого тождества и ещё одного слагаемого: \( \sin^2 a + 2\cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) + \cos^2 a = 1 + \cos^2 a \). Такое равенство эквивалентно исходному, поскольку мы просто сгруппировали члены, а затем заменили сумму квадратов синуса и косинуса на 1.

Так как для любого действительного \( a \) выполняется \( -1 \le \cos a \le 1 \), то квадрат косинуса принимает значения из отрезка \( 0 \le \cos^2 a \le 1 \). Прибавляя к каждой части этого двойного неравенства одно и то же число 1, получаем новое двойное неравенство для нашего выражения: \( 1 \le 1 + \cos^2 a \le 2 \). Это означает, что множество значений исходного выражения есть отрезок от 1 до 2 включительно.

Точки минимума и максимума устанавливаются из крайних значений \( \cos^2 a \). Минимум \( 1 \) достигается при \( \cos^2 a = 0 \), то есть при \( \cos a = 0 \), что эквивалентно \( a = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Максимум \( 2 \) достигается при \( \cos^2 a = 1 \), то есть при \( \cos a = \pm 1 \), что эквивалентно \( a = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Можно интерпретировать это и как подстановку \( t = \cos a \) с ограничением \( t \in [-1; 1] \) и анализом квадратичной функции \( 1 + t^2 \). Поскольку \( t^2 \) возрастает на \( [0; +\infty) \) и принимает значения от 0 до 1 на данном отрезке, то \( 1 + t^2 \) принимает значения от 1 до 2, подтверждая найденные границы.

Наименьшее значение: \( 1 \). Наибольшее значение: \( 2 \).