Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \( \sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha \).
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения: \( \sin^2 a + 2 \cos^2 a \);
1) Преобразуем выражение:
\( \sin^2 a + 2 \cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) + \cos^2 a = 1 + \cos^2 a \);
2) Множество значений:
\( -1 \le \cos a \le 1; \)
\( 0 \le \cos^2 a \le 1; \)
\( 1 \le 1 + \cos^2 a \le 2; \)
Ответ: 1; 2.
Найти наибольшее и наименьшее значения выражения \( \sin^2 a + 2\cos^2 a \).
Запишем фундаментальное тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и представим исходное выражение в виде суммы этого тождества и ещё одного слагаемого: \( \sin^2 a + 2\cos^2 a = (\sin^2 a + \cos^2 a) + \cos^2 a = 1 + \cos^2 a \). Такое равенство эквивалентно исходному, поскольку мы просто сгруппировали члены, а затем заменили сумму квадратов синуса и косинуса на 1.
Так как для любого действительного \( a \) выполняется \( -1 \le \cos a \le 1 \), то квадрат косинуса принимает значения из отрезка \( 0 \le \cos^2 a \le 1 \). Прибавляя к каждой части этого двойного неравенства одно и то же число 1, получаем новое двойное неравенство для нашего выражения: \( 1 \le 1 + \cos^2 a \le 2 \). Это означает, что множество значений исходного выражения есть отрезок от 1 до 2 включительно.
Точки минимума и максимума устанавливаются из крайних значений \( \cos^2 a \). Минимум \( 1 \) достигается при \( \cos^2 a = 0 \), то есть при \( \cos a = 0 \), что эквивалентно \( a = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Максимум \( 2 \) достигается при \( \cos^2 a = 1 \), то есть при \( \cos a = \pm 1 \), что эквивалентно \( a = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Можно интерпретировать это и как подстановку \( t = \cos a \) с ограничением \( t \in [-1; 1] \) и анализом квадратичной функции \( 1 + t^2 \). Поскольку \( t^2 \) возрастает на \( [0; +\infty) \) и принимает значения от 0 до 1 на данном отрезке, то \( 1 + t^2 \) принимает значения от 1 до 2, подтверждая найденные границы.
Наименьшее значение: \( 1 \). Наибольшее значение: \( 2 \).
