Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a; \)
2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3}; \)
3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma}; \)
4) \( \frac{\sin^2 a — 1}{\cos^2 a — 1} + \tan a \cdot \cot a; \)
5) \( (\tan a \cos a)^2 + (\cot a \sin a)^2; \)
6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a (\cos^2 a — 1)}; \)
7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right); \)
8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 \cdot \tan. \)
Упростите выражение:
1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a = 1 + \cot^2 5a = \frac{1}{\sin^2 5a}; \)
Ответ: \( \sin^2 5a \).
2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3} = \sin \frac{a}{3} \cdot \cos \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{\sin \frac{a}{3}} = \cos \frac{a}{3}; \)
Ответ: \( \cos \frac{a}{3} \).
3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma} = 1 — (1 + \cot^2 \gamma) = -\cot^2 \gamma; \)
Ответ: \( — \cot^2 \gamma \).
4) \( \sin^2 a — 1 + \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) + 1}{\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a)} = 1 \sin^2 a; \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 a} \).
5) \( (\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2 = (\sin a \cdot \cos a)^2 + \left( \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \sin a \right)^2 = 1; \)
Ответ: 1.
6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — 1)} = \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a))} = \)
\[
= \frac{\sin^2 a}{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot (-\sin^2 a)} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = 1;
\]
Ответ: 1.
7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right) =\)
\(= \frac{1}{\cos^2 a} — \tan^2 a = (1 + \tan^2 a) — \tan^2 a = 1; \)
Ответ: 1.
8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 = \)
\[= (\tan \beta + \cot \beta) + 2 \tan \beta \cdot \cot \beta — (\tan \beta + \cot \beta) — 2 \tan \beta \cdot \cot \beta=\]
\[= 4 \tan \beta \cdot \cot \beta = 4;\]
Ответ: 4.
Упростите выражение:
1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a = 1 + \cot^2 5a = \frac{1}{\sin^2 5a}; \)
Ответ: \( \sin^2 5a \).
Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) для \( \sin^2 2a + \cos^2 2a \), что даёт \( 1 \), а также представление для \( \cot^2 5a \) через \( \sin^2 5a \), что завершает преобразование.
2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3} = \sin \frac{a}{3} \cdot \cos \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{\sin \frac{a}{3}} = \cos \frac{a}{3}; \)
Ответ: \( \cos \frac{a}{3} \).
Здесь используется определение \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \), и сокращение \( \sin \frac{a}{3} \) даёт нам \( \cos \frac{a}{3} \).
3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma} = 1 — (1 + \cot^2 \gamma) = -\cot^2 \gamma; \)
Ответ: \( — \cot^2 \gamma \).
Применяем тождество \( 1 + \cot^2 \gamma = \frac{1}{\sin^2 \gamma} \), что позволяет упростить выражение до \( — \cot^2 \gamma \).
4) \( \sin^2 a — 1 + \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) + 1}{\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a)} = 1 \sin^2 a; \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 a} \).
Здесь мы видим, как выражение \( \tan a \cdot \cot a \) сокращается до 1, а затем применяется тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что упрощает дробь до \( \frac{1}{\sin^2 a} \).
5) \( (\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2 = (\sin a \cdot \cos a)^2 + \left( \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \sin a \right)^2 = 1; \)
Ответ: 1.
Применяем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), и обе части выражения сводятся к 1.
6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — 1)} = \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a))} = \)
\[
= \frac{\sin^2 a}{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot (-\sin^2 a)} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = 1;
\]
Ответ: 1.
Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и получаем итоговый результат 1.
7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right) \)
\(= \frac{1}{\cos^2 a} — \tan^2 a = (1 + \tan^2 a) — \tan^2 a = 1; \)
Ответ: 1.
Здесь мы применяем формулу разности квадратов для упрощения выражения, и после приведения к \( 1 + \tan^2 a \), выражение сводится к 1.
8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 = \)
\[= (\tan \beta + \cot \beta) + 2 \tan \beta \cdot \cot \beta — (\tan \beta + \cot \beta) — 2 \tan \beta \cdot \cot \beta \]
\[= 4 \tan \beta \cdot \cot \beta = 4;\]
Ответ: 4.
Используя формулу разности квадратов и при подстановке значений, мы получаем окончательный ответ \( 4 \).
