ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a; \)

2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3}; \)

3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma}; \)

4) \( \frac{\sin^2 a — 1}{\cos^2 a — 1} + \tan a \cdot \cot a; \)

5) \( (\tan a \cos a)^2 + (\cot a \sin a)^2; \)

6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a (\cos^2 a — 1)}; \)

7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right); \)

8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 \cdot \tan. \)

Упростите выражение:

1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a = 1 + \cot^2 5a = \frac{1}{\sin^2 5a}; \)

Ответ: \( \sin^2 5a \).

2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3} = \sin \frac{a}{3} \cdot \cos \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{\sin \frac{a}{3}} = \cos \frac{a}{3}; \)

Ответ: \( \cos \frac{a}{3} \).

3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma} = 1 — (1 + \cot^2 \gamma) = -\cot^2 \gamma; \)

Ответ: \( — \cot^2 \gamma \).

4) \( \sin^2 a — 1 + \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) + 1}{\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a)} = 1 \sin^2 a; \)

Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 a} \).

5) \( (\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2 = (\sin a \cdot \cos a)^2 + \left( \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \sin a \right)^2 = 1; \)

Ответ: 1.

6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — 1)} = \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a))} = \)

\[
= \frac{\sin^2 a}{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot (-\sin^2 a)} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = 1;
\]

Ответ: 1.

7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right) =\)

\(= \frac{1}{\cos^2 a} — \tan^2 a = (1 + \tan^2 a) — \tan^2 a = 1; \)

Ответ: 1.

8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 = \)

\[= (\tan \beta + \cot \beta) + 2 \tan \beta \cdot \cot \beta — (\tan \beta + \cot \beta) — 2 \tan \beta \cdot \cot \beta=\]

\[= 4 \tan \beta \cdot \cot \beta = 4;\]

Ответ: 4.

Упростите выражение:

1) \( \sin^2 2a + \cos^2 2a + \cot^2 5a = 1 + \cot^2 5a = \frac{1}{\sin^2 5a}; \)

Ответ: \( \sin^2 5a \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) для \( \sin^2 2a + \cos^2 2a \), что даёт \( 1 \), а также представление для \( \cot^2 5a \) через \( \sin^2 5a \), что завершает преобразование.

2) \( \sin \frac{a}{3} \cdot \cot \frac{a}{3} = \sin \frac{a}{3} \cdot \cos \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{\sin \frac{a}{3}} = \cos \frac{a}{3}; \)

Ответ: \( \cos \frac{a}{3} \).

Здесь используется определение \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \), и сокращение \( \sin \frac{a}{3} \) даёт нам \( \cos \frac{a}{3} \).

3) \( 1 — \frac{1}{\sin^2 \gamma} = 1 — (1 + \cot^2 \gamma) = -\cot^2 \gamma; \)

Ответ: \( — \cot^2 \gamma \).

Применяем тождество \( 1 + \cot^2 \gamma = \frac{1}{\sin^2 \gamma} \), что позволяет упростить выражение до \( — \cot^2 \gamma \).

4) \( \sin^2 a — 1 + \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a) + 1}{\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a)} = 1 \sin^2 a; \)

Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 a} \).

Здесь мы видим, как выражение \( \tan a \cdot \cot a \) сокращается до 1, а затем применяется тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), что упрощает дробь до \( \frac{1}{\sin^2 a} \).

5) \( (\tan a \cdot \cos a)^2 + (\cot a \cdot \sin a)^2 = (\sin a \cdot \cos a)^2 + \left( \frac{\cos a}{\sin a} \cdot \sin a \right)^2 = 1; \)

Ответ: 1.

Применяем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), и обе части выражения сводятся к 1.

6) \( \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — 1)} = \frac{\sin^2 a}{1 + \cot^2 a \cdot (\cos^2 a — (\sin^2 a + \cos^2 a))} = \)
\[
= \frac{\sin^2 a}{1 + \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \cdot (-\sin^2 a)} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = 1;
\]

Ответ: 1.

Используем тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) и получаем итоговый результат 1.

7) \( \left( \frac{1}{\cos a} + \tan a \right) \left( \frac{1}{\cos a} — \tan a \right) \)

\(= \frac{1}{\cos^2 a} — \tan^2 a = (1 + \tan^2 a) — \tan^2 a = 1; \)

Ответ: 1.

Здесь мы применяем формулу разности квадратов для упрощения выражения, и после приведения к \( 1 + \tan^2 a \), выражение сводится к 1.

8) \( (\tan \beta + \cot \beta)^2 — (\tan \beta — \cot \beta)^2 = \)

\[= (\tan \beta + \cot \beta) + 2 \tan \beta \cdot \cot \beta — (\tan \beta + \cot \beta) — 2 \tan \beta \cdot \cot \beta \]

\[= 4 \tan \beta \cdot \cot \beta = 4;\]

Ответ: 4.

Используя формулу разности квадратов и при подстановке значений, мы получаем окончательный ответ \( 4 \).