ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \( 3\sin^2 \alpha — 2\cos^2 \alpha \).

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \( 3\sin^2 \alpha — 2\cos^2 \alpha \).

1) Преобразуем выражение:

\( 3\sin^2 \alpha — 2\cos^2 \alpha = 3(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) — 5\cos^2 \alpha = 3 — 5\cos^2 \alpha \);

2) Множество значений:

\( -1 \le \cos \alpha \le 1; \)

\( 0 \le \cos^2 \alpha \le 1; \)

\( -5 \le -5\cos^2 \alpha \le 0; \)

\( -2 \le 3 — 5\cos^2 \alpha \le 3; \)

Ответ: -2; 3.

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \( 3\sin^2 \alpha — 2\cos^2 \alpha \).

1) Начнем с преобразования выражения. Напоминаем, что для любого угла \( \alpha \) выполняется основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Используя это тождество, преобразуем исходное выражение:

\( 3\sin^2 \alpha — 2\cos^2 \alpha = 3(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) — 5\cos^2 \alpha \),

что при подстановке \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) превращается в:

\( 3 \cdot 1 — 5\cos^2 \alpha = 3 — 5\cos^2 \alpha \).

Таким образом, выражение сводится к \( 3 — 5\cos^2 \alpha \). Это выражение зависит от значения косинуса угла \( \alpha \), который ограничен интервалом от -1 до 1.

2) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значение для выражения \( 3 — 5\cos^2 \alpha \). Для этого рассмотрим диапазон значений \( \cos^2 \alpha \), который лежит на интервале от 0 до 1, так как \( \cos^2 \alpha \geq 0 \) и \( \cos^2 \alpha \leq 1 \) для любого угла \( \alpha \).

Минимальное значение \( \cos^2 \alpha \) равно 0, когда \( \cos \alpha = 0 \). В этом случае выражение \( 3 — 5\cos^2 \alpha \) примет значение:

\( 3 — 5 \cdot 0 = 3 \).

Максимальное значение \( \cos^2 \alpha \) равно 1, когда \( \cos \alpha = \pm 1 \). В этом случае выражение \( 3 — 5\cos^2 \alpha \) примет значение:

\( 3 — 5 \cdot 1 = -2 \).

Таким образом, выражение \( 3 — 5\cos^2 \alpha \) изменяется от -2 до 3. Это означает, что наименьшее значение равно \( -2 \), а наибольшее — \( 3 \).

Ответ: наименьшее значение \( -2 \), наибольшее значение \( 3 \).