Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( \sqrt{\cos^2 \beta (1 + \tan \beta) + \sin^2 \beta (1 + \cot \beta)} \), если \( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} \);
2) \( \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}{\tan \beta \cot \alpha} \), если \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \).
Упростите выражение:
1) \( \sqrt{\cos^2 \beta \cdot (1 + \tan \beta) + \sin^2 \beta \cdot (1 + \cot \beta)} = \)
\( = \cos^2 \beta \cdot \left( 1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \right) + \sin^2 \beta \cdot \left( 1 + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \right) = \)
\( = \cos^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta + \sin^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta = \)
\( = \cos^2 \beta + 2 \sin \beta \cdot \cos \beta + \sin^2 \beta = \)
\( = \left( \cos \beta + \sin \beta \right)^2 = \left| \cos \beta + \sin \beta \right| = -\cos \beta — \sin \beta; \)
Угол \( \beta \) принадлежит третьей четверти:
\( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2}; \)
\( \cos \beta < 0; \)
\( \sin \beta < 0; \)
\( \left( \cos \beta + \sin \beta \right) < 0; \)
Ответ: \( -\cos \beta — \sin \beta. \)
2) \( \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}{\tan \beta \cot \alpha} =\)
\( = \frac{\sqrt{\cos^2 a \cdot (1 — \cos^2 \beta)}}{\tan \beta \cdot \cot a} = \frac{\sqrt{\cos^2 a \cdot \sin^2 \beta}}{\tan \beta \cdot \cot a} = \)
\( = |\cos a \cdot \sin \beta| : \left( \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} \right) = \)
\( = — \cos a \cdot \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = — \sin a \cdot \cos \beta; \)
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти:
\( \pi < a < \frac{3\pi}{2}; \)
\( \cos a < 0; \)
Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти:
\( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi; \) \( \sin \beta > 0; \)
\( \cos a \cdot \sin \beta < 0; \)
Ответ: \( — \sin a \cdot \cos \beta. \)
Упростите выражение:
1) \( \sqrt{\cos^2 \beta \cdot (1 + \tan \beta) + \sin^2 \beta \cdot (1 + \cot \beta)} = \)
Рассмотрим каждый элемент внутри корня. Начнем с первого члена \( \cos^2 \beta \cdot (1 + \tan \beta) \):
\( \cos^2 \beta \cdot \left( 1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \right)=\)
\( = \cos^2 \beta + \cos^2 \beta \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\)
\( = \cos^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta \)
Теперь рассматриваем второй член \( \sin^2 \beta \cdot (1 + \cot \beta) \):
\( \sin^2 \beta \cdot \left( 1 + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \right)=\)
\(= \sin^2 \beta + \sin^2 \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}=\)
\(= \sin^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta \)=\)
Теперь объединяем оба этих выражения:
\( \cos^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta + \sin^2 \beta + \sin \beta \cdot \cos \beta=\)
\(= \cos^2 \beta + 2 \sin \beta \cdot \cos \beta + \sin^2 \beta \)
Используя формулу для квадрата суммы, мы можем упростить это выражение:
\( \cos^2 \beta + 2 \sin \beta \cdot \cos \beta + \sin^2 \beta=\)
\(= \left( \cos \beta + \sin \beta \right)^2 \)
Теперь, зная, что в третьей четверти угол \( \beta \) имеет такие значения, что сумма \( \cos \beta + \sin \beta \) будет отрицательной, мы можем выразить конечный результат:
\( = -\cos \beta — \sin \beta \)
Угол \( \beta \) принадлежит третьей четверти, что означает, что его значение находится в пределах:
\( \pi < \beta < \frac{3\pi}{2}; \)
Из этого следуют следующие важные свойства тригонометрических функций:
\( \cos \beta < 0; \quad \sin \beta < 0; \)
Таким образом, выражение \( \cos \beta + \sin \beta \) обязательно будет отрицательным в третьей четверти, что подтверждает правильность окончательного выражения:
Ответ: \( -\cos \beta — \sin \beta. \)
2) \( \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}{\tan \beta \cot \alpha} = \)
Рассмотрим числитель:
\( \sqrt{1 — \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \beta}=\)
\(= \sqrt{\cos^2 a \cdot (1 — \cos^2 \beta)} \)
Упростим выражение под корнем. Мы знаем, что \( 1 — \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \), следовательно:
\( = \sqrt{\cos^2 a \cdot \sin^2 \beta} \)
Теперь, извлекая квадратный корень, получаем:
\( = |\cos a \cdot \sin \beta| \)
Теперь рассмотрим знаменатель:
\( \tan \beta \cdot \cot a = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\sin \beta \cdot \cos a}{\cos \beta \cdot \sin a} \)
Объединяя числитель и знаменатель, мы получаем:
\( \frac{|\cos a \cdot \sin \beta|}{\frac{\sin \beta \cdot \cos a}{\sin a \cdot \cos \beta}} = — \cos a \cdot \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} \)
Упростив, получаем окончательный результат:
\( = — \sin a \cdot \cos \beta \)
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти:
\( \pi < a < \frac{3\pi}{2}; \quad \cos a < 0; \)
Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти:
\( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi; \quad \sin \beta > 0; \)
Таким образом, выражение для \( \cos \beta \) и \( \sin \beta \) в этом контексте будет отрицательным. Конечный ответ:
Ответ: \( — \sin a \cdot \cos \beta. \)
