Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
\( \sin \alpha — \sqrt{\cot^2 \alpha — \cos^2 \alpha}, \) если \( 180^\circ < \alpha < 360^\circ. \)
Упростите выражение: \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \);
1) Угол \( a \) принадлежит III или IV четверти:
\( 180^\circ < a < 360^\circ; \)
\(\quad \sin a < 0; \)
2) Данное выражение:
\( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \cos^2 a} = \)
\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2 a}} = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a \cdot (1 — \sin^2 a)}{\sin^2 a}} = \)
\( = \sin a — \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \sin a — \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} = \sin a — \frac{\cos^2 a}{|\sin a|}; \)
\( = \sin a + \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a} = \frac{1}{\sin a}= \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin a} \).
Упростите выражение: \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \);
1) Угол \( a \) принадлежит III или IV четверти:
Это означает, что угол \( a \) находится в интервале от \( 180^\circ \) до \( 360^\circ \). В этих четвертях синус всегда отрицателен, так как ось \( y \) на графике синуса расположена ниже оси \( x \) для этих углов. Таким образом:
\( 180^\circ < a < 360^\circ; \quad \sin a < 0; \)
2) Данное выражение:
Начнем с преобразования исходного выражения \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \). Для этого распишем \( \cot^2 a \) через \( \cos a \) и \( \sin a \):
\( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \), поэтому \( \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \).
Подставляем это в исходное выражение:
\( \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \cos^2 a} = \)
Теперь приводим выражение внутри корня к общему знаменателю:
\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a}} = \)
Здесь можно вынести \( \cos^2 a \) за скобки в числителе:
\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a \cdot (1 — \sin^2 a)}{\sin^2 a}} \)
Используем тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \), чтобы упростить выражение под корнем:
\( = \sin a — \frac{\cos^2 a}{\sin a} \)
Следующим шагом выделяем общий знаменатель в выражении:
\( = \sin a — \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} = \sin a — \frac{\cos^2 a}{|\sin a|} \)
Теперь рассмотрим вторую часть выражения, используя тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Это позволит нам упростить дробь:
\( = \sin a + \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a} \)
Поскольку \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), мы получаем:
\( = \frac{1}{\sin a} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin a} \).
