ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\( \sin \alpha — \sqrt{\cot^2 \alpha — \cos^2 \alpha}, \) если \( 180^\circ < \alpha < 360^\circ. \)

Упростите выражение: \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \);

1) Угол \( a \) принадлежит III или IV четверти:

\( 180^\circ < a < 360^\circ; \)

\(\quad \sin a < 0; \)

2) Данное выражение:

\( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \cos^2 a} = \)

\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a — \sin^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2 a}} = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a \cdot (1 — \sin^2 a)}{\sin^2 a}} = \)

\( = \sin a — \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \sin a — \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} = \sin a — \frac{\cos^2 a}{|\sin a|}; \)

\( = \sin a + \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a} = \frac{1}{\sin a}= \)

Ответ: \( \frac{1}{\sin a} \).

Упростите выражение: \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \);

1) Угол \( a \) принадлежит III или IV четверти:

Это означает, что угол \( a \) находится в интервале от \( 180^\circ \) до \( 360^\circ \). В этих четвертях синус всегда отрицателен, так как ось \( y \) на графике синуса расположена ниже оси \( x \) для этих углов. Таким образом:

\( 180^\circ < a < 360^\circ; \quad \sin a < 0; \)

2) Данное выражение:

Начнем с преобразования исходного выражения \( \sin a — \sqrt{\cot^2 a — \cos^2 a} \). Для этого распишем \( \cot^2 a \) через \( \cos a \) и \( \sin a \):

\( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \), поэтому \( \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \).

Подставляем это в исходное выражение:

\( \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} — \cos^2 a} = \)

Теперь приводим выражение внутри корня к общему знаменателю:

\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a — \cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a}} = \)

Здесь можно вынести \( \cos^2 a \) за скобки в числителе:

\( = \sin a — \sqrt{\frac{\cos^2 a \cdot (1 — \sin^2 a)}{\sin^2 a}} \)

Используем тождество \( 1 — \sin^2 a = \cos^2 a \), чтобы упростить выражение под корнем:

\( = \sin a — \frac{\cos^2 a}{\sin a} \)

Следующим шагом выделяем общий знаменатель в выражении:

\( = \sin a — \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} = \sin a — \frac{\cos^2 a}{|\sin a|} \)

Теперь рассмотрим вторую часть выражения, используя тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Это позволит нам упростить дробь:

\( = \sin a + \frac{\cos^2 a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a} \)

Поскольку \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), мы получаем:

\( = \frac{1}{\sin a} \)

Ответ: \( \frac{1}{\sin a} \).