ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)

2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]. \)

Докажите, что функция:

1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)

Пусть \( x_2 > x_1 > -5 \), тогда:

\( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7}{x_2 + 5} — \frac{7}{x_1 + 5} = \frac{7(x_1 + 5) — 7(x_2 + 5)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \)

\( = \frac{7x_1 + 35 — 7x_2 — 35}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7x_1 — 7x_2}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} < 0; \)

\( (x_1 — x_2) < 0, (x_2 + 5) > 0, (x_1 + 5) > 0; \)

Функция убывает, что и требовалось доказать.

2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]; \)

Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \), тогда:

\( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = (6x_2 — 6x_1) — (x_2^2 — x_1^2) = \)

\( = (x_2 — x_1)(6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)

\( (x_2 — x_1) > 0, (x_2 + x_1) < 6, (6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)

Функция возрастает, что и требовалось доказать.

Докажите, что функция:

1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)

Пусть \( x_2 > x_1 > -5 \), тогда рассмотрим разность значений функции в точках \( x_2 \) и \( x_1 \):

\( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7}{x_2 + 5} — \frac{7}{x_1 + 5} = \frac{7(x_1 + 5) — 7(x_2 + 5)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \)

Далее раскрываем скобки в числителе и приводим подобные члены:

\( = \frac{7x_1 + 35 — 7x_2 — 35}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7x_1 — 7x_2}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} \)

Теперь выносим общий множитель \( 7 \) за скобки:

\( = \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} \)

Так как \( x_2 > x_1 > -5 \), то разность \( (x_1 — x_2) < 0 \), а выражения \( (x_2 + 5) > 0 \) и \( (x_1 + 5) > 0 \), поскольку оба числа больше \( -5 \). Таким образом, знаменатель всегда положителен, а числитель отрицателен, что приводит к отрицательному значению разности:

\( \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} < 0; \)

Таким образом, функция убывает на данном промежутке, что и требовалось доказать.

2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]; \)

Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \), тогда рассмотрим разность значений функции для этих точек:

\( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = (6x_2 — 6x_1) — (x_2^2 — x_1^2) = \)

Используем формулу разности квадратов для второй части:

\( = (x_2 — x_1)(6 — (x_2 + x_1)) \)

Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( (x_2 — x_1) > 0 \), и для того чтобы разность была положительной, необходимо, чтобы выражение \( (6 — (x_2 + x_1)) > 0 \). То есть \( (x_2 + x_1) < 6 \). Это условие всегда выполняется, если \( x_2 \leq 3 \), так как сумма \( x_2 + x_1 \) будет меньше 6, если оба значения лежат в пределах промежутка \( (-\infty; 3] \).

Таким образом, разность значений функции всегда положительна:

\( (x_2 — x_1) > 0, (x_2 + x_1) < 6, (6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)

Следовательно, функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 3] \), что и требовалось доказать.