Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что функция:
1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)
2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]. \)
Докажите, что функция:
1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)
Пусть \( x_2 > x_1 > -5 \), тогда:
\( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7}{x_2 + 5} — \frac{7}{x_1 + 5} = \frac{7(x_1 + 5) — 7(x_2 + 5)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \)
\( = \frac{7x_1 + 35 — 7x_2 — 35}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7x_1 — 7x_2}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} < 0; \)
\( (x_1 — x_2) < 0, (x_2 + 5) > 0, (x_1 + 5) > 0; \)
Функция убывает, что и требовалось доказать.
2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]; \)
Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \), тогда:
\( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = (6x_2 — 6x_1) — (x_2^2 — x_1^2) = \)
\( = (x_2 — x_1)(6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)
\( (x_2 — x_1) > 0, (x_2 + x_1) < 6, (6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)
Функция возрастает, что и требовалось доказать.
Докажите, что функция:
1) \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty); \)
Пусть \( x_2 > x_1 > -5 \), тогда рассмотрим разность значений функции в точках \( x_2 \) и \( x_1 \):
\( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7}{x_2 + 5} — \frac{7}{x_1 + 5} = \frac{7(x_1 + 5) — 7(x_2 + 5)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \)
Далее раскрываем скобки в числителе и приводим подобные члены:
\( = \frac{7x_1 + 35 — 7x_2 — 35}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7x_1 — 7x_2}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} \)
Теперь выносим общий множитель \( 7 \) за скобки:
\( = \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} \)
Так как \( x_2 > x_1 > -5 \), то разность \( (x_1 — x_2) < 0 \), а выражения \( (x_2 + 5) > 0 \) и \( (x_1 + 5) > 0 \), поскольку оба числа больше \( -5 \). Таким образом, знаменатель всегда положителен, а числитель отрицателен, что приводит к отрицательному значению разности:
\( \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} < 0; \)
Таким образом, функция убывает на данном промежутке, что и требовалось доказать.
2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3]; \)
Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \), тогда рассмотрим разность значений функции для этих точек:
\( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = (6x_2 — 6x_1) — (x_2^2 — x_1^2) = \)
Используем формулу разности квадратов для второй части:
\( = (x_2 — x_1)(6 — (x_2 + x_1)) \)
Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( (x_2 — x_1) > 0 \), и для того чтобы разность была положительной, необходимо, чтобы выражение \( (6 — (x_2 + x_1)) > 0 \). То есть \( (x_2 + x_1) < 6 \). Это условие всегда выполняется, если \( x_2 \leq 3 \), так как сумма \( x_2 + x_1 \) будет меньше 6, если оба значения лежат в пределах промежутка \( (-\infty; 3] \).
Таким образом, разность значений функции всегда положительна:
\( (x_2 — x_1) > 0, (x_2 + x_1) < 6, (6 — (x_2 + x_1)) > 0; \)
Следовательно, функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 3] \), что и требовалось доказать.
