ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \) и \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}; \)

2) \( \tan \alpha = 2,5 \) и \( \cot \alpha = 0,6? \)

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \) и \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}; \)

\( \sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{13}}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{13}{16} = \frac{14}{16} \neq 1; \)

Ответ: нет.

2) \( \tan \alpha = 2,5 \) и \( \cot \alpha = 0,6; \)

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 2,5 \cdot 0,6 = \frac{25}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{5}{2} \neq 1; \)

Ответ: нет.

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{1}{4} \) и \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}; \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы проверить, могут ли эти два равенства выполняться одновременно. Подставим значения для \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):

\( \sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{13}}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{13}{16} = \frac{14}{16} \neq 1; \)

Таким образом, сумма квадратов синуса и косинуса не равна 1, что означает, что эти значения не могут одновременно удовлетворять тождеству \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

Ответ: нет.

2) \( \tan \alpha = 2,5 \) и \( \cot \alpha = 0,6; \)

Для проверки этого равенства, давайте рассмотрим произведение \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha \), используя их определения. Мы знаем, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), а их произведение всегда равно 1, так как:

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1; \)

Однако в данном случае \( \tan \alpha = 2,5 \) и \( \cot \alpha = 0,6 \), и их произведение:

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 2,5 \cdot 0,6 = \frac{25}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{5}{2} \neq 1; \)

Таким образом, произведение \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha \) не равно 1, что значит, эти значения не могут одновременно быть истинными для \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \).

Ответ: нет.