ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \) и \( \cos \alpha = \frac{3}{5}; \)

2) \( \tan \alpha = \frac{4}{9} \) и \( \cot \alpha = \frac{1}{4}? \)

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \) и \( \cos \alpha = \frac{3}{5}; \)

\( \sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{2}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25} \neq 1; \)

Ответ: нет.

2) \( \tan \alpha = \frac{4}{9} \) и \( \cot \alpha = \frac{1}{4}; \)

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \neq 1; \)

Ответ: нет.

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \) и \( \cos \alpha = \frac{3}{5}; \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), чтобы проверить, могут ли эти два равенства выполняться одновременно. Подставим значения для \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):

\( \sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{2}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25} \neq 1; \)

Таким образом, сумма квадратов синуса и косинуса не равна 1, что означает, что эти значения не могут одновременно удовлетворять тождеству \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).

Ответ: нет.

2) \( \tan \alpha = \frac{4}{9} \) и \( \cot \alpha = \frac{1}{4}; \)

Для проверки этого равенства, давайте рассмотрим произведение \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha \), используя их определения. Мы знаем, что \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), а их произведение всегда равно 1, так как:

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1; \)

Однако в данном случае \( \tan \alpha = \frac{4}{9} \) и \( \cot \alpha = \frac{1}{4} \), и их произведение:

\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \neq 1; \)

Таким образом, произведение \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha \) не равно 1, что значит, эти значения не могут одновременно быть истинными для \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \).

Ответ: нет.