Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( (1 + \tan \alpha)^2 + (1 — \tan \alpha)^2; \)
2) \( \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha; \)
3) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha}; \)
4) \( \cot x + \frac{\sin x}{1 + \cos x}; \)
5) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}; \)
6) \( \tan 3\alpha \cdot \frac{1 — \cot^2 3\alpha}{\tan 3\alpha}; \)
7) \( \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha + \cot \alpha}; \)
8) \( 1 — \cot \gamma \);
9) \( \cos^4 \alpha — \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha; \)
10) \( \sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha; \)
11) \( \cos(-\alpha) + \cos \alpha \tan^2(-\alpha); \)
12) \( 1 + \sin(-\beta) \div \cos(-\beta) — \tan(-\beta). \)
Упростите выражение:
1) \( (1 + \tan \alpha)^2 + (1 — \tan \alpha)^2 \);
Решение:
\( (1 + \tan \alpha)^2 + (1 — \tan \alpha)^2=\)
\(= (1 + 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha) + (1 — 2 \tan \alpha + \tan^2 \alpha) = \)
\(= 2 + 2 \tan^2 \alpha = 2 \cdot (1 + \tan^2 \alpha) = \frac{2}{\cos^2 \alpha}; \)
Ответ: \( \frac{2}{\cos^2 \alpha} \).
2) \( \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha \);
Решение:
\( \sin^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2 = 1; \)
Ответ: 1.
3) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} \);
Решение:
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} =\)
\(= \frac{\sin \alpha (1 — \cos \alpha) + \sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 — \cos \alpha)} = \)
\(= \frac{2 \sin \alpha}{1 — \cos^2 \alpha} = \frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \)
\(=\frac{2}{\sin \alpha}; \)
Ответ: \( \frac{2}{\sin \alpha} \).
4) \( \cot x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} \);
Решение:
\( \cot x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x}=\)
\(= \frac{\cos x + \sin^2 x + \cos x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x}; \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin x} \).
5) \( \frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \)
\(= \frac{2 + 2 \cos a}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \frac{2}{\sin a}; \)
Ответ: \( \frac{2}{\cos^2 a} \).
6) \( \frac{\tan 3a}{\tan^2 3a — 1} \cdot \frac{1 — \cot^2 3a}{\cot 3a} = \)
\(= \frac{\tan 3a}{\tan^2 3a — 1} \cdot \frac{(1 — \cot^2 3a)}{\cot 3a \cdot \tan^2 3a}=\)
\(= \frac{\tan 3a}{\tan^2 3a — 1} = 1; \)
Ответ: 1.
7) \( \frac{\cot a}{\tan a + \cot a} = \frac{\cot a \cdot \tan a}{(\tan a + \cot a) \cdot \tan a} = \)
\(= \frac{1}{\tan^2 a + 1} = \frac{1}{\cos^2 a} = \cos^2 a; \)
Ответ: \( \cos^2 a \).
8) \( \frac{1 — \cot \gamma}{1 — \tan \gamma} = \)
\(= \frac{(1 — \cot \gamma) \cdot \cot \gamma}{(1 — \tan \gamma) \cdot \cot \gamma} = \)
\(= \frac{1 — \cot \gamma}{\cot \gamma — 1} = — \cot \gamma; \)
Ответ: \( -\cot \gamma \).
9) \( \cos^4 a — \cos^2 a + \sin^2 a = \cos^4 a — \cos^2 a + (1 — \cos^2 a)=\)
\(= \cos^4 a — 2 \cos^2 a + 1 =\)
\(= (1 — \cos^2 a)^2 = (\sin^2 a)^2 = \sin^4 a; \)
Ответ: \( \sin^4 a \).
10) \( \sin^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a + \cos^2 a = \)
Решение:
\( \sin^4 a + \sin^2 a \cdot (1 — \sin^2 a) + (1 — \sin^2 a) =\)
\(= \sin^4 a + \sin^2 a — \sin^4 a + 1 — \sin^2 a = 1; \)
Ответ: 1.
11) \( \cos(-a) + \cos a \cdot \tan^2(-a) = \cos a + \cos a \cdot \tan^2 a=\)
\(= \cos a \cdot (1 + \tan^2 a) = \frac{1}{\cos a}; \)
Ответ: \( \frac{1}{\cos a} \).
12) \( \frac{1 + \sin(-\beta)}{\cos(-\beta)} — \tan(-\beta) = \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} + \tan \beta = \frac{1}{\cos \beta}; \)
Ответ: \( \frac{1}{\cos \beta} \).
Упрощение тригонометрических выражений
1) Упростить выражение
\[(1 + \tan \alpha)^2 + (1 — \tan \alpha)^2\]
Раскрываем скобки по формулам:
\[(1 + \tan \alpha)^2 = 1 + 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha, \quad = \]
\[ = (1 — \tan \alpha)^2 = 1 — 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha\]
Суммируем:
\[(1 + 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) + (1 — 2\tan \alpha + \tan^2 \alpha) = 2 + 2\tan^2 \alpha\]
Выносим общий множитель:
\[2(1 + \tan^2 \alpha)\]
По тождеству:
\[1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\]
Следовательно:
\[(1 + \tan \alpha)^2 + (1 — \tan \alpha)^2 = \frac{2}{\cos^2 \alpha}\]
Ответ: \(\frac{2}{\cos^2 \alpha}\)
2) Упростить выражение
\[\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha\]
Используем формулу квадрата суммы:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
При \(a = \sin^2 \alpha, \ b = \cos^2 \alpha\):
\[\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha\cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2\]
Так как:
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
То:
\[(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2 = 1\]
Ответ: \(1\)
3) Упростить выражение
\[\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha}\]
Общий знаменатель:
\[\frac{\sin \alpha(1 — \cos \alpha) + \sin \alpha(1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 — \cos \alpha)} = \frac{2\sin \alpha}{1 — \cos^2 \alpha}\]
Так как:
\[1 — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\]
Получаем:
\[\frac{2\sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}\]
Ответ: \(\frac{2}{\sin \alpha}\)
4) Упростить выражение
\[\cot x + \frac{\sin x}{1 + \cos x}\]
Преобразуем:
\[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]
Тогда:
\[\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x}\]
Общий знаменатель:
\[\frac{\cos x(1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x(1 + \cos x)}\]
Так как:
\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]
Числитель:
\[\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x = 1 + \cos x\]
Сокращаем:
\[\frac{1 + \cos x}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{1}{\sin x}\]
Ответ: \(\frac{1}{\sin x}\)
5) Упростить выражение
\[\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a}\]
Общий знаменатель:
\[\frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{\sin a(1 + \cos a)}\]
Раскрываем:
\[(1 + \cos a)^2 = 1 + 2\cos a + \cos^2 a\]
Суммируем:
\[\sin^2 a + 1 + 2\cos a + \cos^2 a = 1 + 1 + 2\cos a\]
Выносим:
\[2(1 + \cos a)\]
Сокращаем:
\[\frac{2}{\sin a}\]
Ответ: \(\frac{2}{\sin a}\)
6) Упростить выражение
\[\frac{\tan 3a}{\tan^2 3a — 1} \cdot \frac{1 — \cot^2 3a}{\cot 3a}\]
Так как:
\[\cot 3a = \frac{1}{\tan 3a}\]
То:
\[\frac{1 — \cot^2 3a}{\cot 3a} = \frac{1 — \frac{1}{\tan^2 3a}}{\frac{1}{\tan 3a}} = \]
\[= \frac{\frac{\tan^2 3a — 1}{\tan^2 3a}}{\frac{1}{\tan 3a}} = \]
\[= \frac{\tan^2 3a — 1}{\tan^2 3a} \cdot \tan 3a\]
Подставляем:
\[\frac{\tan 3a}{\tan^2 3a — 1} \cdot \frac{\tan 3a(\tan^2 3a — 1)}{\tan^2 3a} = 1\]
Ответ: \(1\)
7) Упростить выражение
\[\frac{\cot a}{\tan a + \cot a}\]
Через синус и косинус:
\[\tan a + \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{1}{\sin a \cos a}\]
Тогда:
\[\frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{1}{\sin a \cos a}} = \cos^2 a\]
Ответ: \(\cos^2 a\)
8) Упростить выражение
\[\frac{1 — \cot \gamma}{1 — \tan \gamma}\]
Через синус и косинус:
\[\frac{(1 — \cot \gamma)\sin \gamma \cos \gamma}{(1 — \tan \gamma)\sin \gamma \cos \gamma}\]
Преобразуем:
\[= \frac{\cos \gamma(\sin \gamma — \cos \gamma)}{\sin \gamma(-(\sin \gamma — \cos \gamma))} = -\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma} = -\cot \gamma\]
Ответ: \(-\cot \gamma\)
9) Упростить выражение
\[\cos^4 a — \cos^2 a + \sin^2 a\]
Подставляем:
\[= \cos^4 a — 2\cos^2 a + 1\]
Квадрат разности:
\[(\cos^2 a — 1)^2 = \sin^4 a\]
Ответ: \(\sin^4 a\)
10) Упростить выражение
\[\sin^4 a + \sin^2 a\cos^2 a + \cos^2 a\]
Подставляем:
\[= \sin^4 a + \sin^2 a(1 — \sin^2 a) + 1 — \sin^2 a = 1\]
Ответ: \(1\)
11) Упростить выражение
\[\cos(-a) + \cos a\tan^2(-a)\]
Так как:
\[\cos(-a) = \cos a, \quad \tan^2(-a) = \tan^2 a\]
Получаем:
\(\cos a(1 + \tan^2 a) = \frac{1}{\cos a}\)
Ответ: \(\frac{1}{\cos a}\)
12) Упростить выражение
\[\frac{1 + \sin(-\beta)}{\cos(-\beta)} — \tan(-\beta)\]
Используем свойства функций:
\[\sin(-\beta) = -\sin \beta, \quad \cos(-\beta) = \cos \beta, \quad \tan(-\beta) = -\tan \beta\]
Подставляем:
\[\frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} + \tan \beta = \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{\cos \beta}\]
Ответ: \(\frac{1}{\cos \beta}\).
