Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 \);
2) \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2) \);
3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} \);
4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} \);
5) \( \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} + \frac{1 + \tan^2 \alpha}{\cot^2 \alpha} \);
6) \( \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \cot \alpha} \);
7) \( \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha — \cos^2 \alpha — 1 \);
8) \( \tan(-\alpha) \cot \alpha + \sin^2(-\alpha) \).
Упростите выражение:
1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 = \)
\[
= (1 + 2 \cot \beta + \cot ^2 \beta) + (1 — 2 \cot \beta + \cot ^2 \beta) = 2 + 2 \cot ^2 \beta = \frac{2}{\sin^2 \beta};
\]
Ответ: \( \frac{2}{\sin^2 \beta} \).
2) \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot (\tan^2 \alpha + \cot ^2 \alpha + 2) = \)
\[
= \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha} \right) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1;
\]
Ответ: 1.
3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \)
\[
= \frac{\sin x + \sin x + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{1}{\cos x};
\]
Ответ: \( \frac{1}{\cos x} \).
4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \)
\[
= \frac{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta + 1 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta};
\]
Ответ: \( \frac{2}{\cos \beta} \).
5) \( \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}}=\)
\(= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} \cdot \tan^2 a=\)
\(= \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{\tan^2 a + 1}}{{1}} = \tan^2 a; \)
Ответ: \( \tan^2 a \).
6) \( \frac{{1 + \tan a}}{{1 + \cot a}} = \left( (1 + \tan a) \cdot \tan a \right) \cdot \frac{{(1 + \cot a) \cdot \tan a}}{{\tan a + 1}} = \tan a; \)
Ответ: \( \tan a \).
7) \( \cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1=\)
\(= \cos^4 a + (1 — \cos^2 a) \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 =\)
\(= \cos^4 a + \cos^2 a — \cos^4 a — \cos^2 a — 1 = -1; \)
Ответ: -1.
8) \( \tan(-a) — \cot(-a) + \sin^2(-a) = -\tan a — \cot a + \sin^2 a = \)
\(= \sin^2 a — 1 = (1 — \cos^2 a) = 1 — \cos^2 a; \)
Ответ: — \( \cos a \).
Упростите выражение:
1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 = \)
Для начала раскроем скобки в обоих выражениях. Первое из них \( (1 + \cot \beta)^2 \) раскрывается как:
\[
(1 + \cot \beta)^2 = 1 + 2 \cot \beta + \cot^2 \beta,
\]
второе выражение \( (1 — \cot \beta)^2 \) раскроется так:
\[
(1 — \cot \beta)^2 = 1 — 2 \cot \beta + \cot^2 \beta.
\]
Теперь сложим оба выражения:
\[
(1 + 2 \cot \beta + \cot^2 \beta) + (1 — 2 \cot \beta + \cot^2 \beta) = 2 + 2 \cot^2 \beta.
\]
Далее, используя тригонометрическую тождество \( \cot^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta} \), получаем:
\[
2 + 2 \cot^2 \beta = 2 + 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin^2 \beta}.
\]
Ответ: \( \frac{2}{\sin^2 \beta} \).
2) \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot (\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2) = \)
Рассмотрим выражение внутри скобок:
\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.
\]
Теперь добавим 2:
\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2 = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.
\]
Теперь умножим все на \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \):
\[\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \right)=\]
\[= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\]
Ответ: 1.
3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \)
Для упрощения выражения сложим \( \tan x \) и \( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \) под общим знаменателем. Начнем с того, что \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Теперь получим:
\[
\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}.
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
= \frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)}.
\]
Так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:
\[
= \frac{1 + \sin x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{1}{\cos x}.
\]
Ответ: \( \frac{1}{\cos x} \).
4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \)
Начнем с того, что при сложении двух дробей приведем их к общему знаменателю. Запишем:
\[
\frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 — \sin \beta)^2}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]
Теперь раскроем скобки:
\[
(1 — \sin \beta)^2 = 1 — 2 \sin \beta + \sin^2 \beta,
\]
и подставим в выражение:
\[
= \frac{\cos^2 \beta + 1 — 2 \sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]
Используя тождество \( \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \), получаем:
\[
= \frac{1 + 1 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta} = \frac{2 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]
Упростив, получаем:
\[
= \frac{2}{\cos \beta}.
\]
Ответ: \( \frac{2}{\cos \beta} \).
5) \( \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} = \)
Раскроем выражение:
\[
= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} \cdot \tan^2 a.
\]
Теперь подставим \( \cot^2 a = \frac{1}{\tan^2 a} \):
\[
= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \frac{1}{\tan^2 a}}}{{\frac{1}{\tan^2 a}}} \cdot \tan^2 a.
\]
Упростив дробь, получаем:
\[
= \tan^2 a \cdot \left( \tan^2 a + 1 \right) = \tan^2 a.
\]
Ответ: \( \tan^2 a \).
6) \( \frac{{1 + \tan a}}{{1 + \cot a}} = \left( (1 + \tan a) \cdot \tan a \right) \cdot \frac{{(1 + \cot a) \cdot \tan a}}{{\tan a + 1}} = \tan a; \)
Ответ: \( \tan a \).
7) \( \cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 = \)
Разложим выражение:
\[= \cos^4 a + (1 — \cos^2 a) \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 = \]
\[= \cos^4 a + \cos^2 a — \cos^4 a — \cos^2 a — 1.\]
Упростив, получаем:
\[
-1.
\]
Ответ: -1.
8) \( \tan(-a) — \cot(-a) + \sin^2(-a) = -\tan a — \cot a + \sin^2 a = \)
Используем тригонометрические тождества \( \sin^2(-a) = \sin^2 a \), \( \tan(-a) = -\tan a \), \( \cot(-a) = -\cot a \):
\[
= \sin^2 a — 1 = (1 — \cos^2 a) = 1 — \cos^2 a.
\]
Ответ: — \( \cos^2 a \).
