ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 \);

2) \( \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2) \);

3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} \);

4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} \);

5) \( \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} + \frac{1 + \tan^2 \alpha}{\cot^2 \alpha} \);

6) \( \frac{1 + \tan \alpha}{1 + \cot \alpha} \);

7) \( \cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha — \cos^2 \alpha — 1 \);

8) \( \tan(-\alpha) \cot \alpha + \sin^2(-\alpha) \).

Упростите выражение:

1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 = \)

\[
= (1 + 2 \cot \beta + \cot ^2 \beta) + (1 — 2 \cot \beta + \cot ^2 \beta) = 2 + 2 \cot ^2 \beta = \frac{2}{\sin^2 \beta};
\]

Ответ: \( \frac{2}{\sin^2 \beta} \).

2) \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot (\tan^2 \alpha + \cot ^2 \alpha + 2) = \)

\[
= \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( \frac{1}{\cos^2 \alpha} + \frac{1}{\sin^2 \alpha} \right) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1;
\]

Ответ: 1.

3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \)

\[
= \frac{\sin x + \sin x + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{1}{\cos x};
\]

Ответ: \( \frac{1}{\cos x} \).

4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \)

\[
= \frac{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta + 1 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta};
\]

Ответ: \( \frac{2}{\cos \beta} \).

5) \( \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}}=\)

\(= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} \cdot \tan^2 a=\)

\(= \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{\tan^2 a + 1}}{{1}} = \tan^2 a; \)

Ответ: \( \tan^2 a \).

6) \( \frac{{1 + \tan a}}{{1 + \cot a}} = \left( (1 + \tan a) \cdot \tan a \right) \cdot \frac{{(1 + \cot a) \cdot \tan a}}{{\tan a + 1}} = \tan a; \)

Ответ: \( \tan a \).

7) \( \cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1=\)

\(= \cos^4 a + (1 — \cos^2 a) \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 =\)

\(= \cos^4 a + \cos^2 a — \cos^4 a — \cos^2 a — 1 = -1; \)

Ответ: -1.

8) \( \tan(-a) — \cot(-a) + \sin^2(-a) = -\tan a — \cot a + \sin^2 a = \)

\(= \sin^2 a — 1 = (1 — \cos^2 a) = 1 — \cos^2 a; \)

Ответ: — \( \cos a \).

Упростите выражение:

1) \( (1 + \cot \beta)^2 + (1 — \cot \beta)^2 = \)

Для начала раскроем скобки в обоих выражениях. Первое из них \( (1 + \cot \beta)^2 \) раскрывается как:

\[
(1 + \cot \beta)^2 = 1 + 2 \cot \beta + \cot^2 \beta,
\]

второе выражение \( (1 — \cot \beta)^2 \) раскроется так:

\[
(1 — \cot \beta)^2 = 1 — 2 \cot \beta + \cot^2 \beta.
\]

Теперь сложим оба выражения:

\[
(1 + 2 \cot \beta + \cot^2 \beta) + (1 — 2 \cot \beta + \cot^2 \beta) = 2 + 2 \cot^2 \beta.
\]

Далее, используя тригонометрическую тождество \( \cot^2 \beta = \frac{1}{\sin^2 \beta} \), получаем:

\[
2 + 2 \cot^2 \beta = 2 + 2 \cdot \frac{1}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin^2 \beta}.
\]

Ответ: \( \frac{2}{\sin^2 \beta} \).

2) \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot (\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2) = \)

Рассмотрим выражение внутри скобок:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}.
\]

Приведем к общему знаменателю:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.
\]

Теперь добавим 2:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2 = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.
\]

Теперь умножим все на \( \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \):

\[\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha \cdot \left( \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} \right)=\]

\[= \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\]

Ответ: 1.

3) \( \tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \)

Для упрощения выражения сложим \( \tan x \) и \( \frac{\cos x}{1 + \sin x} \) под общим знаменателем. Начнем с того, что \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Теперь получим:

\[
\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}.
\]

Приведем к общему знаменателю:

\[
= \frac{\sin x (1 + \sin x) + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)}.
\]

Так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:

\[
= \frac{1 + \sin x}{\cos x \cdot (1 + \sin x)} = \frac{1}{\cos x}.
\]

Ответ: \( \frac{1}{\cos x} \).

4) \( \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \)

Начнем с того, что при сложении двух дробей приведем их к общему знаменателю. Запишем:

\[
\frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} + \frac{1 — \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 — \sin \beta)^2}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]

Теперь раскроем скобки:

\[
(1 — \sin \beta)^2 = 1 — 2 \sin \beta + \sin^2 \beta,
\]

и подставим в выражение:

\[
= \frac{\cos^2 \beta + 1 — 2 \sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]

Используя тождество \( \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \), получаем:

\[
= \frac{1 + 1 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta} = \frac{2 — 2 \sin \beta}{(1 — \sin \beta) \cdot \cos \beta}.
\]

Упростив, получаем:

\[
= \frac{2}{\cos \beta}.
\]

Ответ: \( \frac{2}{\cos \beta} \).

5) \( \frac{{\tan^2 a}}{{1 + \tan^2 a}} \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} = \)

Раскроем выражение:

\[
= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \cot^2 a}}{{\cot^2 a}} \cdot \tan^2 a.
\]

Теперь подставим \( \cot^2 a = \frac{1}{\tan^2 a} \):

\[
= \tan^2 a \cdot \frac{{1 + \frac{1}{\tan^2 a}}}{{\frac{1}{\tan^2 a}}} \cdot \tan^2 a.
\]

Упростив дробь, получаем:

\[
= \tan^2 a \cdot \left( \tan^2 a + 1 \right) = \tan^2 a.
\]

Ответ: \( \tan^2 a \).

6) \( \frac{{1 + \tan a}}{{1 + \cot a}} = \left( (1 + \tan a) \cdot \tan a \right) \cdot \frac{{(1 + \cot a) \cdot \tan a}}{{\tan a + 1}} = \tan a; \)

Ответ: \( \tan a \).

7) \( \cos^4 a + \sin^2 a \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 = \)

Разложим выражение:

\[= \cos^4 a + (1 — \cos^2 a) \cdot \cos^2 a — \cos^2 a — 1 = \]

\[= \cos^4 a + \cos^2 a — \cos^4 a — \cos^2 a — 1.\]

Упростив, получаем:

\[
-1.
\]

Ответ: -1.

8) \( \tan(-a) — \cot(-a) + \sin^2(-a) = -\tan a — \cot a + \sin^2 a = \)

Используем тригонометрические тождества \( \sin^2(-a) = \sin^2 a \), \( \tan(-a) = -\tan a \), \( \cot(-a) = -\cot a \):

\[
= \sin^2 a — 1 = (1 — \cos^2 a) = 1 — \cos^2 a.
\]

Ответ: — \( \cos^2 a \).