Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 20.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( \alpha \), если:
1) \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \);
2) \( \sin \alpha = 0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \);
3) \( \tan \alpha = 2 \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \);
4) \( \cot \alpha = -\frac{4}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( a \), если:
1) \( \cos a = \frac{1}{2} \);
\[\sin a = \pm \sqrt{1 — \cos^2 a} = \pm \sqrt{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2}=\]
\[= \pm \sqrt{\frac{4}{4} — \frac{1}{4}} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};\]
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \pm \sqrt{3};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}};
\]
2) \( \sin a = 0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \);
Угол \( a \) принадлежит второй четверти:
\[
\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — (0,6)^2} = \sqrt{1 — 0,36} = \sqrt{0,64} = -0,8;
\]
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{3}{4};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = -\frac{4}{3};
\]
3) \( \tan a = 2 \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти:
\[\cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + 2^2}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + 4}} =\]
\[= -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5};\]
\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5};
\]
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{2} = 0,5;
\]
4) \( \cot a = -\frac{4}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
Угол \( a \) принадлежит четвертой четверти:
\[\sin a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{4}{3} \right)^2}} =\]
\[= -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{16}{9}}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{9}}} = -\frac{3}{5}\]
\[
\cos a = \cot a \cdot \sin a = -\frac{4}{3} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{4}{5};
\]
\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} = 1 : \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{3}{4};
\]
Найдите значения тригонометрических функций аргумента \( a \), если:
1) \( \cos a = \frac{1}{2} \);
Для нахождения значения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Подставляем значение \( \cos a = \frac{1}{2} \) в это тождество:
\[\sin a = \pm \sqrt{1 — \cos^2 a} = \pm \sqrt{1 — \left( \frac{1}{2} \right)^2} =\]
\[= \pm \sqrt{\frac{4}{4} — \frac{1}{4}} = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
Таким образом, \( \sin a = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Для нахождения значения тангенса:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \pm \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \pm \sqrt{3}.
\]
Ответ: \( \tan a = \pm \sqrt{3} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
\]
Ответ: \( \cot a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \).
2) \( \sin a = 0,6 \) и \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \);
Угол \( a \) принадлежит второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен. Используя основное тождество:
\[
\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — (0,6)^2} = \sqrt{1 — 0,36} = \sqrt{0,64} = -0,8.
\]
Таким образом, \( \cos a = -0,8 \).
Для нахождения значения тангенса:
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{3}{4}.
\]
Ответ: \( \tan a = -\frac{3}{4} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = -\frac{4}{3}.
\]
Ответ: \( \cot a = -\frac{4}{3} \).
3) \( \tan a = 2 \) и \( \pi < a < \frac{3\pi}{2} \);
Угол \( a \) принадлежит третьей четверти, где тангенс положителен, а косинус и синус отрицательны. Для нахождения косинуса используем тождество:
\[\cos a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + 2^2}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + 4}} = \]
\[= -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}.\]
Таким образом, \( \cos a = -\frac{\sqrt{5}}{5} \).
Для нахождения синуса используем:
\[
\sin a = \tan a \cdot \cos a = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.
\]
Ответ: \( \sin a = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \).
Для нахождения котангенса:
\[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{2} = 0,5.
\]
Ответ: \( \cot a = 0,5 \).
4) \( \cot a = -\frac{4}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi \);
Угол \( a \) принадлежит четвертой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен. Для нахождения синуса используем:
\[\sin a = -\sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = -\sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{4}{3} \right)^2}} =\]
\[= -\sqrt{\frac{1}{1 + \frac{16}{9}}} = -\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{9}}} = -\frac{3}{5}.\]
Таким образом, \( \sin a = -\frac{3}{5} \).
Для нахождения косинуса используем:
\[
\cos a = \cot a \cdot \sin a = -\frac{4}{3} \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) = \frac{4}{5}.
\]
Ответ: \( \cos a = \frac{4}{5} \).
Для нахождения тангенса:
\[
\tan a = \frac{1}{\cot a} = 1 : \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{3}{4}.
\]
Ответ: \( \tan a = -\frac{3}{4} \).
