ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \cos (a + \beta) + \cos (a — \beta); \)

2) \( \sin (30^\circ + \alpha) — \cos (60^\circ + \alpha); \)

3) \( \sqrt{2} \sin (a — 45^\circ) — \sin a + \cos a; \)

4) \( 2 \cos (60^\circ — \alpha) — \sqrt{3} \sin \alpha — \cos \alpha. \)

Упростите выражение:

1) \( \cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = \)

\( = (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) = \)

\( = 2 \cos a \cdot \cos \beta; \)

Ответ: \( 2 \cos a \cdot \cos \beta \).

2) \( \sin(30^\circ + a) — \cos(60^\circ + a) = \)

\( = (\sin 30^\circ \cdot \cos a + \cos 30^\circ \cdot \sin a) — (\cos 60^\circ \cdot \cos a — \sin 60^\circ \cdot \sin a) = \)

\( = \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) = \)

\( = \sqrt{3} \sin a; \)

Ответ: \( \sqrt{3} \sin a \).

3) \( \sqrt{2} \sin(a — 45^\circ) — \sin a + \cos a = \)

\( = \sqrt{2} (\sin a \cdot \cos 45^\circ — \cos a \cdot \sin 45^\circ) — \sin a + \cos a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a \right) — \sin a + \cos a = \)

\( = \sin a — \cos a — \sin a + \cos a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)

4) \( 2 \cos(60^\circ — a) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

\( = 2 (\cos 60^\circ \cdot \cos a + \sin 60^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

\( = 2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

\( = \cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a — \cos a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)

Упростите выражение:

1) \( \cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = \)

Рассмотрим разложение каждого косинуса с использованием формулы косинуса суммы и разности:

\( = (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) = \)

Теперь сложим подобные члены:

\( = 2 \cos a \cdot \cos \beta; \)

Ответ: \( 2 \cos a \cdot \cos \beta \).

2) \( \sin(30^\circ + a) — \cos(60^\circ + a) = \)

Рассмотрим разложение каждого из тригонометрических выражений с использованием формул синуса и косинуса суммы:

\( = (\sin 30^\circ \cdot \cos a + \cos 30^\circ \cdot \sin a) — (\cos 60^\circ \cdot \cos a — \sin 60^\circ \cdot \sin a) = \)

Подставляем значения \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( = \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) = \)

Теперь упрощаем выражение:

\( = \sqrt{3} \sin a; \)

Ответ: \( \sqrt{3} \sin a \).

3) \( \sqrt{2} \sin(a — 45^\circ) — \sin a + \cos a = \)

Используем формулы для синуса разности:

\( = \sqrt{2} (\sin a \cdot \cos 45^\circ — \cos a \cdot \sin 45^\circ) — \sin a + \cos a = \)

Подставляем значения \( \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a \right) — \sin a + \cos a = \)

Теперь раскрываем скобки и упрощаем:

\( = \sin a — \cos a — \sin a + \cos a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)

4) \( 2 \cos(60^\circ — a) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

Используем формулы для косинуса разности:

\( = 2 (\cos 60^\circ \cdot \cos a + \sin 60^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

Подставляем значения \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( = 2 \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \sin a — \cos a = \)

Теперь раскрываем скобки и упрощаем:

\( = \cos a + \sqrt{3} \sin a — \sqrt{3} \sin a — \cos a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)