Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \frac{\sin(a + \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin(a — \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1; \)
2) \( \frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \sin(45^\circ — a)}{2 \sin(60^\circ + a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2}; \)
3) \( \frac{2 \sin a \cos \beta — \sin(a — \beta)}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta} = \tan(a + \beta); \)
Доказательство тождеств
1) \( \frac{\sin(a + \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin(a — \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1; \)
Доказать тождество:
\[
\frac{\sin(a + \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin(a — \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1;
\]
Раскроем синусы суммы и разности:
\[
\frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1;
\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta + \sin \beta \cdot \cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1;
\]
Тождество доказано.
2) \( \frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \sin(45^\circ — a)}{2 \sin(60^\circ + a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2}; \)
Доказать тождество:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \sin(45^\circ — a)}{2 \sin(60^\circ + a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Раскроем синусы суммы и разности:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2(\sin 45^\circ \cdot \cos a — \cos 45^\circ \cdot \sin a)}{2(\sin 60^\circ \cdot \cos a + \cos 60^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Подставим значения:
\(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
Подставляем в числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a\right) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Упростим числитель:
\[
\sqrt{2} \cos a — (\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a) = \sqrt{2} \sin a;
\]
Упростим знаменатель:
\[
\sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a = \sin a;
\]
Итоговое выражение:
\[
\frac{\sqrt{2} \sin a}{\sin a} = \sqrt{2};
\]
Тождество доказано.
3) \( \frac{2 \sin a \cos \beta — \sin(a — \beta)}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta} = \tan(a + \beta); \)
Доказать тождество:
\[
\frac{2 \sin a \cdot \cos \beta — \sin(a — \beta)}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta} = \tan(a + \beta);
\]
Перепишем числитель, раскрыв скобки и используя формулу для синуса разности:
\[
\frac{2 \sin a \cdot \cos \beta — (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta)}{\cos(a + \beta)} = \tan(a + \beta);
\]
Упростим числитель:
\[
\frac{\cos a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \cos \beta}{\cos(a + \beta)} = \tan(a + \beta);
\]
По формуле синуса суммы углов:
\[
\frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \tan(a + \beta);
\]
Таким образом,
\[
\tan(a + \beta) = \tan(a + \beta);
\]
Тождество доказано.
Доказательство тождеств
1) \( \frac{\sin(a + \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin(a — \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1; \)
Доказать тождество:
\[
\frac{\sin(a + \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin(a — \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1;
\]
Раскроем синусы суммы и разности:
\[
\frac{(\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) — \sin \beta \cdot \cos a}{(\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) + \sin \beta \cdot \cos a} = 1;
\]
Упростим числитель и знаменатель, объединив подобные члены:
\[
\frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta — \sin \beta \cdot \cos a}{\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta + \sin \beta \cdot \cos a} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \cos \beta} = 1;
\]
Тождество доказано.
2) \( \frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \sin(45^\circ — a)}{2 \sin(60^\circ + a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2}; \)
Доказать тождество:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \sin(45^\circ — a)}{2 \sin(60^\circ + a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Раскроем синусы суммы и разности с подробным раскрытием:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2(\sin 45^\circ \cdot \cos a — \cos 45^\circ \cdot \sin a)}{2(\sin 60^\circ \cdot \cos a + \cos 60^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Подставим известные значения тригонометрических функций:
\(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
Подставляем в числитель и знаменатель и раскрываем скобки:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a\right) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{2};
\]
Упростим числитель, раскрывая скобки и сокращая:
\[
\sqrt{2} \cos a — (\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a) = \sqrt{2} \sin a;
\]
Упростим знаменатель:
\[
\sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a = \sin a;
\]
Итоговое выражение принимает вид:
\[
\frac{\sqrt{2} \sin a}{\sin a} = \sqrt{2};
\]
Тождество доказано.
3) \( \frac{2 \sin a \cos \beta — \sin(a — \beta)}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta} = \tan(a + \beta); \)
Доказать тождество:
\[
\frac{2 \sin a \cos \beta — \sin(a — \beta)}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta} = \tan(a + \beta);
\]
Раскроем синус разности в числителе:
\[
\sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta;
\]
Подставим и преобразуем числитель:
\[2 \sin a \cos \beta — (\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta)=\]
\[= 2 \sin a \cos \beta — \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta=\]
\[= \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta;\]
Знаменатель — формула косинуса суммы:
\[
\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta = \cos(a + \beta);
\]
Таким образом, выражение принимает вид:
\[
\frac{\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta}{\cos(a + \beta)} = \frac{\sin(a + \beta)}{\cos(a + \beta)} = \tan(a + \beta);
\]
Тождество доказано.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!