Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Дано: \( \sin \alpha = \frac{9}{41}, \ 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Найдите \( \sin(\alpha + 45^\circ) \).
Известно, что: \( \sin a = \frac{9}{41} \);
1) Угол \( a \) принадлежит второй четверти: \( 90^\circ < a < 180^\circ \);
Для нахождения \( \cos a \) используем теорему Пифагора:
\[
\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a}
\]
Подставим значение \( \sin a = \frac{9}{41} \):
\[
\cos a = -\sqrt{1 — \left( \frac{9}{41} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}.
\]
2) Значение выражения:
\[
\sin(a + 45^\circ) = \sin a \cdot \cos 45^\circ + \cos a \cdot \sin 45^\circ;
\]
Подставим известные значения \( \sin a = \frac{9}{41} \), \( \cos a = -\frac{40}{41} \), \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( -\frac{40}{41} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{82} — \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}.
\]
Ответ: \( \frac{-31\sqrt{2}}{82} \).
Известно, что: \( \sin a = \frac{9}{41} \);
1) Угол \( a \) принадлежит второй четверти: \( 90^\circ < a < 180^\circ \);
Для того чтобы найти \( \cos a \), используем теорему Пифагора. Из теоремы Пифагора знаем, что для угла \( a \) выполняется следующее соотношение:
\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1,
\]
где \( \sin a = \frac{9}{41} \). Подставим значение \( \sin a \) в это уравнение:
\[
\left( \frac{9}{41} \right)^2 + \cos^2 a = 1.
\]
Рассчитаем квадрат \( \sin a \):
\[
\left( \frac{9}{41} \right)^2 = \frac{81}{1681},
\]
и подставим это в уравнение:
\[
\frac{81}{1681} + \cos^2 a = 1.
\]
Теперь вычитаем \( \frac{81}{1681} \) из 1:
\[
\cos^2 a = 1 — \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} — \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}.
\]
Теперь находим \( \cos a \), извлекая корень из \( \cos^2 a \):
\[
\cos a = \pm \frac{40}{41}.
\]
Поскольку угол \( a \) находится во второй четверти, где \( \cos a \) отрицательно, то:
\[
\cos a = -\frac{40}{41}.
\]
2) Теперь найдем значение выражения:
\[
\sin(a + 45^\circ) = \sin a \cdot \cos 45^\circ + \cos a \cdot \sin 45^\circ;
\]
Используем известные значения для синуса и косинуса угла 45 градусов: \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), а также уже найденные значения \( \sin a = \frac{9}{41} \) и \( \cos a = -\frac{40}{41} \). Подставим эти значения в формулу:
\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( -\frac{40}{41} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Теперь упростим выражение:
\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9\sqrt{2}}{82} — \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}.
\]
Ответ: \( \frac{-31\sqrt{2}}{82} \).
