ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано: \( \sin \alpha = \frac{9}{41}, \ 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Найдите \( \sin(\alpha + 45^\circ) \).

Известно, что: \( \sin a = \frac{9}{41} \);

1) Угол \( a \) принадлежит второй четверти: \( 90^\circ < a < 180^\circ \);

Для нахождения \( \cos a \) используем теорему Пифагора:

\[
\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a}
\]

Подставим значение \( \sin a = \frac{9}{41} \):

\[
\cos a = -\sqrt{1 — \left( \frac{9}{41} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{81}{1681}} = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}.
\]

2) Значение выражения:

\[
\sin(a + 45^\circ) = \sin a \cdot \cos 45^\circ + \cos a \cdot \sin 45^\circ;
\]

Подставим известные значения \( \sin a = \frac{9}{41} \), \( \cos a = -\frac{40}{41} \), \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( -\frac{40}{41} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{82} — \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}.
\]

Ответ: \( \frac{-31\sqrt{2}}{82} \).

Известно, что: \( \sin a = \frac{9}{41} \);

1) Угол \( a \) принадлежит второй четверти: \( 90^\circ < a < 180^\circ \);

Для того чтобы найти \( \cos a \), используем теорему Пифагора. Из теоремы Пифагора знаем, что для угла \( a \) выполняется следующее соотношение:

\[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1,
\]

где \( \sin a = \frac{9}{41} \). Подставим значение \( \sin a \) в это уравнение:

\[
\left( \frac{9}{41} \right)^2 + \cos^2 a = 1.
\]

Рассчитаем квадрат \( \sin a \):

\[
\left( \frac{9}{41} \right)^2 = \frac{81}{1681},
\]

и подставим это в уравнение:

\[
\frac{81}{1681} + \cos^2 a = 1.
\]

Теперь вычитаем \( \frac{81}{1681} \) из 1:

\[
\cos^2 a = 1 — \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} — \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}.
\]

Теперь находим \( \cos a \), извлекая корень из \( \cos^2 a \):

\[
\cos a = \pm \frac{40}{41}.
\]

Поскольку угол \( a \) находится во второй четверти, где \( \cos a \) отрицательно, то:

\[
\cos a = -\frac{40}{41}.
\]

2) Теперь найдем значение выражения:

\[
\sin(a + 45^\circ) = \sin a \cdot \cos 45^\circ + \cos a \cdot \sin 45^\circ;
\]

Используем известные значения для синуса и косинуса угла 45 градусов: \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), а также уже найденные значения \( \sin a = \frac{9}{41} \) и \( \cos a = -\frac{40}{41} \). Подставим эти значения в формулу:

\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( -\frac{40}{41} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

Теперь упростим выражение:

\[
\sin(a + 45^\circ) = \frac{9\sqrt{2}}{82} — \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{-31\sqrt{2}}{82}.
\]

Ответ: \( \frac{-31\sqrt{2}}{82} \).