ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что: \( \cos a = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \);

1) Угол \( a \) принадлежит первой четверти: \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);

\( \sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}; \)

2) Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти: \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \);

\( \sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}; \)

3) Значение выражения:

\( \cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta; \)

\( \cos(a + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{12}{25} — \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}; \)

Ответ: \( -\frac{24}{25} \).

Известно, что: \( \cos a = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \);

1) Угол \( a \) принадлежит первой четверти: \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);

Для вычисления \( \sin a \) используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Подставим значение \( \cos a = \frac{3}{5} \):

\( \sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}; \)

Таким образом, \( \sin a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \), и так как угол \( a \) принадлежит первой четверти, то \( \sin a \) положительно.

2) Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти: \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \);

Для вычисления \( \sin \beta \) используем то же тождество. Подставляем значение \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \):

\( \sin^2 \beta = 1 — \cos^2 \beta = 1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}; \)

Таким образом, \( \sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \), и так как угол \( \beta \) находится во второй четверти, то \( \sin \beta \) также положительно.

3) Для нахождения значения выражения \( \cos(a + \beta) \), применим формулу для косинуса суммы:

\( \cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta \);

Теперь подставим значения \( \cos a = \frac{3}{5} \), \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \), \( \sin a = \frac{4}{5} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \):

\( \cos(a + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \);

Выполним умножение:

\( \cos(a + \beta) = -\frac{12}{25} — \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}; \)

Таким образом, значение \( \cos(a + \beta) \) равно \( -\frac{24}{25} \).

Ответ: \( -\frac{24}{25} \).