Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите \(\cos(\alpha + \beta)\), если
\(\cos \alpha = \frac{3}{5}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)
\(\cos \beta = -\frac{4}{5}\), \(\frac{\pi}{2} < \beta < \pi\)
Известно, что: \( \cos a = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \);
1) Угол \( a \) принадлежит первой четверти: \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);
\( \sin a = +\sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}; \)
2) Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти: \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \);
\( \sin \beta = +\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}; \)
3) Значение выражения:
\( \cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta; \)
\( \cos(a + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{12}{25} — \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}; \)
Ответ: \( \frac{-24}{25} \).
Известно, что: \( \cos a = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \);
1) Угол \( a \) принадлежит первой четверти: \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \);
Для вычисления \( \sin a \) используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \). Подставим значение \( \cos a = \frac{3}{5} \):
\( \sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}; \)
Таким образом, \( \sin a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \), и так как угол \( a \) принадлежит первой четверти, то \( \sin a \) положительно.
2) Угол \( \beta \) принадлежит второй четверти: \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \);
Для вычисления \( \sin \beta \) используем то же тождество. Подставляем значение \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \):
\( \sin^2 \beta = 1 — \cos^2 \beta = 1 — \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}; \)
Таким образом, \( \sin \beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \), и так как угол \( \beta \) находится во второй четверти, то \( \sin \beta \) также положительно.
3) Для нахождения значения выражения \( \cos(a + \beta) \), применим формулу для косинуса суммы:
\( \cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta \);
Теперь подставим значения \( \cos a = \frac{3}{5} \), \( \cos \beta = -\frac{4}{5} \), \( \sin a = \frac{4}{5} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \):
\( \cos(a + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) — \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \);
Выполним умножение:
\( \cos(a + \beta) = -\frac{12}{25} — \frac{12}{25} = -\frac{24}{25}; \)
Таким образом, значение \( \cos(a + \beta) \) равно \( -\frac{24}{25} \).
Ответ: \( -\frac{24}{25} \).
