ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите \( \sin(\alpha — \beta) \), если \( \sin \alpha = -\frac{15}{17} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) и \( \cos \beta = \frac{7}{25} \), \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \).

Известно, что: \( \sin a = -\frac{15}{17} \) и \( \cos \beta = \frac{7}{25} \);

1) Угол \( a \) принадлежит третьей четверти: \( \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \);

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left( \frac{15}{17} \right)^2} = -\sqrt{\frac{289 — 225}{289}} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17}; \)

2) Угол \( \beta \) принадлежит четвертой четверти: \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \);

\( \sin \beta = -\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = -\sqrt{1 — \left( \frac{7}{25} \right)^2} = -\sqrt{\frac{625 — 49}{625}} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}; \)

3) Значение выражения:

\( \sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta; \)

\( \sin(a — \beta) = -\frac{15}{17} \cdot \frac{7}{25} — \left( -\frac{8}{17} \right) \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = \frac{-105}{425} — \frac{192}{425} = -\frac{297}{425}; \)

Ответ: \( -\frac{297}{425} \).

Известно, что: \( \sin a = -\frac{15}{17} \) и \( \cos \beta = \frac{7}{25} \);

1) Угол \( a \) принадлежит третьей четверти: \( \frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{2} \);

Для нахождения \( \cos a \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\( \cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} \). Подставим значение \( \sin a = -\frac{15}{17} \):

\( \cos a = -\sqrt{1 — \left( \frac{15}{17} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{225}{289}} = -\sqrt{\frac{289}{289} — \frac{225}{289}} = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17} \).

Так как угол \( a \) находится в третьей четверти, то \( \cos a \) будет отрицательным, что и подтверждает наш расчет.

2) Угол \( \beta \) принадлежит четвертой четверти: \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \);

Для нахождения \( \sin \beta \) используем следующее основное тригонометрическое тождество:

\( \sin \beta = -\sqrt{1 — \cos^2 \beta} \). Подставим значение \( \cos \beta = \frac{7}{25} \):

\( \sin \beta = -\sqrt{1 — \left( \frac{7}{25} \right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{49}{625}} = -\sqrt{\frac{625}{625} — \frac{49}{625}} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25} \).

Поскольку угол \( \beta \) находится в четвертой четверти, то \( \sin \beta \) будет отрицательным, что также подтверждает наш расчет.

3) Значение выражения:

Нам нужно вычислить значение выражения для \( \sin(a — \beta) \). Используем формулу для синуса разности углов:

\( \sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta \).

Теперь подставим известные значения для \( \sin a = -\frac{15}{17} \), \( \cos \beta = \frac{7}{25} \), \( \cos a = -\frac{8}{17} \), и \( \sin \beta = -\frac{24}{25} \):

\( \sin(a — \beta) = -\frac{15}{17} \cdot \frac{7}{25} — \left( -\frac{8}{17} \right) \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) \).

Выполним поэтапное вычисление:

Первое слагаемое: \( -\frac{15}{17} \cdot \frac{7}{25} = \frac{-105}{425} \);

Второе слагаемое: \( \left( -\frac{8}{17} \right) \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = \frac{192}{425} \);

Теперь сложим оба слагаемых:

\( \sin(a — \beta) = \frac{-105}{425} — \frac{192}{425} = \frac{-105 — 192}{425} = -\frac{297}{425} \).

Ответ: \( -\frac{297}{425} \).