Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Дано: \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \), \( \sin \beta = \frac{3}{5} \), \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \). Найдите \( \tan(\alpha + \beta) \).
Известно, что: \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \);
1) Угол \( \beta \) принадлежит первой четверти: \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \);
Для нахождения \( \cos \beta \) используем основное тригонометрическое тождество:
\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \sin^2 \beta} = +\sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = +\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}; \)
Нахождение \( \tan \beta \):
\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}; \)
2) Значение выражения:
Нам нужно найти \( \tan(a + \beta) \) с помощью формулы для тангенса суммы углов:
\( \tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \).
Подставим значения для \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \tan \beta = \frac{3}{4} \):
\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2; \)
Ответ: \( 2 \).
Известно, что: \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \);
1) Угол \( \beta \) принадлежит первой четверти: \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \);
Для нахождения значения \( \cos \beta \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
\( \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \), откуда:
\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \sin^2 \beta} \), так как угол \( \beta \) лежит в первой четверти, и \( \cos \beta \) будет положительным.
Теперь подставим известное значение для \( \sin \beta = \frac{3}{5} \):
\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = +\sqrt{1 — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
Таким образом, мы нашли \( \cos \beta = \frac{4}{5} \).
Теперь находим \( \tan \beta \), используя формулу для тангенса:
\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).
Подставляем известные значения \( \sin \beta = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{4}{5} \):
\( \tan \beta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \).
Итак, \( \tan \beta = \frac{3}{4} \). Это значение тангенса угла \( \beta \).
2) Значение выражения:
Нам нужно вычислить \( \tan(a + \beta) \) с использованием формулы для тангенса суммы углов:
\( \tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \).
Подставляем известные значения для \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \tan \beta = \frac{3}{4} \):
\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}. \)
Для упрощения сначала вычислим числитель:
\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \).
Теперь вычислим знаменатель:
\( 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = 1 — \frac{3}{8} = \frac{8}{8} — \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \).
Теперь подставим эти значения в формулу для \( \tan(a + \beta) \):
\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2. \)
Таким образом, мы нашли, что \( \tan(a + \beta) = 2 \).
Ответ: \( 2 \).
