ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано: \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \), \( \sin \beta = \frac{3}{5} \), \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \). Найдите \( \tan(\alpha + \beta) \).

Известно, что: \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \);

1) Угол \( \beta \) принадлежит первой четверти: \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \);

Для нахождения \( \cos \beta \) используем основное тригонометрическое тождество:

\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \sin^2 \beta} = +\sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = +\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}; \)

Нахождение \( \tan \beta \):

\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}; \)

2) Значение выражения:

Нам нужно найти \( \tan(a + \beta) \) с помощью формулы для тангенса суммы углов:

\( \tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \).

Подставим значения для \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \tan \beta = \frac{3}{4} \):

\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2; \)

Ответ: \( 2 \).

Известно, что: \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \sin \beta = \frac{3}{5} \);

1) Угол \( \beta \) принадлежит первой четверти: \( 0 < \beta < \frac{\pi}{2} \);

Для нахождения значения \( \cos \beta \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\( \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \), откуда:

\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \sin^2 \beta} \), так как угол \( \beta \) лежит в первой четверти, и \( \cos \beta \) будет положительным.

Теперь подставим известное значение для \( \sin \beta = \frac{3}{5} \):

\( \cos \beta = +\sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = +\sqrt{1 — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).

Таким образом, мы нашли \( \cos \beta = \frac{4}{5} \).

Теперь находим \( \tan \beta \), используя формулу для тангенса:

\( \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).

Подставляем известные значения \( \sin \beta = \frac{3}{5} \) и \( \cos \beta = \frac{4}{5} \):

\( \tan \beta = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \).

Итак, \( \tan \beta = \frac{3}{4} \). Это значение тангенса угла \( \beta \).

2) Значение выражения:

Нам нужно вычислить \( \tan(a + \beta) \) с использованием формулы для тангенса суммы углов:

\( \tan(a + \beta) = \frac{\tan a + \tan \beta}{1 — \tan a \cdot \tan \beta} \).

Подставляем известные значения для \( \tan a = \frac{1}{2} \) и \( \tan \beta = \frac{3}{4} \):

\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}. \)

Для упрощения сначала вычислим числитель:

\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \).

Теперь вычислим знаменатель:

\( 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = 1 — \frac{3}{8} = \frac{8}{8} — \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \).

Теперь подставим эти значения в формулу для \( \tan(a + \beta) \):

\( \tan(a + \beta) = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = 2. \)

Таким образом, мы нашли, что \( \tan(a + \beta) = 2 \).

Ответ: \( 2 \).