ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \sin (a — \beta) — \sin (a + \beta); \)

2) \( \sin (30^\circ — a) + \cos (60^\circ — a); \)

3) \( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \cos a — \sin a. \)

Упростите выражение:

1) \( \sin(a — \beta) — \sin(a + \beta) = \)

\( = (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) — (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) = \)

\( = -2 \cos a \cdot \sin \beta; \)

Ответ: \( -2 \cos a \cdot \sin \beta \).

2) \( \sin(30^\circ — a) + \cos(60^\circ — a) = \)

\( = (\sin 30^\circ \cdot \cos a — \cos 30^\circ \cdot \sin a) + (\cos 60^\circ \cdot \cos a + \sin 60^\circ \cdot \sin a) = \)

\( = \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) + \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) = \)

\( = \cos a; \)

Ответ: \( \cos a \).

3) \( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \cos a — \sin a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right) — \cos a — \sin a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \cos a — \sin a = \)

\( = \cos a + \sin a — \cos a — \sin a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)

Упростите выражение:

1) \( \sin(a — \beta) — \sin(a + \beta) = \)

Для начала применим формулы для синуса разности и синуса суммы:

\( \sin(a — \beta) = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta \) и \( \sin(a + \beta) = \sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta \).

Подставляем эти выражения в исходное:

\( = (\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta) — (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta) = \)

Теперь раскрываем скобки и группируем подобные члены:

\( = \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta = \)

Здесь видим, что \( \sin a \cdot \cos \beta \) сокращается с противоположным знаком, а также \( \cos a \cdot \sin \beta \) тоже исчезает, оставляя:

\( = -2 \cos a \cdot \sin \beta; \)

Ответ: \( -2 \cos a \cdot \sin \beta \).

2) \( \sin(30^\circ — a) + \cos(60^\circ — a) = \)

Для упрощения снова используем формулы для синуса и косинуса разности:

\( \sin(30^\circ — a) = \sin 30^\circ \cdot \cos a — \cos 30^\circ \cdot \sin a \) и \( \cos(60^\circ — a) = \cos 60^\circ \cdot \cos a + \sin 60^\circ \cdot \sin a \).

Подставляем известные значения \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( = \left( \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) + \left( \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a \right) = \)

Теперь складываем подобные члены:

\( = \cos a; \)

Ответ: \( \cos a \).

3) \( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \cos a — \sin a = \)

Для упрощения используем формулу для синуса суммы:

\( \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \).

Подставляем известные значения \( \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \cos a — \sin a = \)

Теперь раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( = \cos a + \sin a — \cos a — \sin a = 0; \)

Ответ: \( 0. \)