Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) \( \sin \alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha \sin 4\alpha; \)
2) \( \cos 17^\circ \cos 43^\circ — \sin 17^\circ \sin 43^\circ; \)
3) \( \cos \frac{3\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} — \sin \frac{3\pi}{8} \sin \frac{\pi}{8}; \)
4) \( \sin \alpha \sin (\alpha + \beta) + \cos \alpha \cos (\alpha + \beta); \)
5) \( \sin 53^\circ \cos 7^\circ — \cos 53^\circ \sin (-7^\circ); \)
6) \( \sin (\alpha + \beta) \cos (\alpha — \beta) — \sin (\alpha — \beta) \cos (\alpha + \beta); \)
7) \( (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2 + (\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta)^2; \)
8) \( \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 20^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 10^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ} \)
9) \( \cos (\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta. \)
Упростите выражение:
1) \( \sin a \cdot \cos 4a + \cos a \cdot \sin 4a = \sin(a + 4a) = \sin 5a; \)
Ответ: \( \sin 5a \).
2) \( \cos 17^\circ \cdot \cos 43^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 43^\circ = \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}; \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \).
3) \( \cos \frac{3\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} — \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} = \cos \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0; \)
Ответ: \( 0 \).
4) \( \sin a \cdot \sin(a + \beta) + \cos a \cdot \cos(a + \beta) = \cos((a + \beta) — a) = \cos \beta; \)
Ответ: \( \cos \beta \).
5) \( \sin 53^\circ \cdot \cos 7^\circ — \cos 53^\circ \cdot \sin(-7^\circ) = \)
\( = \sin 53^\circ \cdot \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \cdot \sin 7^\circ = \sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
6) \( \sin(a + \beta) — \cos(a — \beta) — \sin(a — \beta) — \cos(a + \beta) = \)
\( = \sin((a + \beta) — (a — \beta)) = \sin(a + \beta — a + \beta) = \sin 2\beta; \)
Ответ: \( \sin 2\beta \).
7) \( (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta)^2 + (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)^2 = \)
\( = \sin^2(a + \beta) + \cos^2(a + \beta) = 1; \)
Ответ: \( 1 \).
8) \( \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 20^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 10^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ} \)
\[=\frac{\sin(20^\circ — 5^\circ)}{\cos(10^\circ + 5^\circ)}=\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}= \tan 15^\circ;\]
Ответ: \(\tan 15^\circ\).
9) \( \cos(a + \beta) + 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)
\( = (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)
\( = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta = \cos(a — \beta); \)
Ответ: \( \cos(a — \beta) \).
Упростите выражение:
1) \( \sin a \cdot \cos 4a + \cos a \cdot \sin 4a = \sin(a + 4a) = \sin 5a; \)
Используя формулы для синуса суммы, преобразуем выражение:
\( \sin a \cdot \cos 4a + \cos a \cdot \sin 4a = \sin(a + 4a) = \sin 5a; \)
Ответ: \( \sin 5a \).
2) \( \cos 17^\circ \cdot \cos 43^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 43^\circ = \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}; \)
Используем формулу косинуса суммы:
\( \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \cos(x + y); \)
Подставляем: \( \cos 17^\circ \cdot \cos 43^\circ — \sin 17^\circ \cdot \sin 43^\circ = \cos(17^\circ + 43^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}; \)
Ответ: \( \frac{1}{2} \).
3) \( \cos \frac{3\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} — \sin \frac{3\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} = \cos \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0; \)
Используем формулу косинуса суммы для упрощения выражения:
\( \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \cos(x + y); \)
Таким образом, получаем:
\( \cos \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0; \)
Ответ: \( 0 \).
4) \( \sin a \cdot \sin(a + \beta) + \cos a \cdot \cos(a + \beta) = \cos((a + \beta) — a) = \cos \beta; \)
Применяем формулу для косинуса суммы и разности:
\( \cos(x — y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y \);
Подставляем в выражение и получаем:
\( \sin a \cdot \sin(a + \beta) + \cos a \cdot \cos(a + \beta) = \cos((a + \beta) — a) = \cos \beta; \)
Ответ: \( \cos \beta \).
5) \( \sin 53^\circ \cdot \cos 7^\circ — \cos 53^\circ \cdot \sin(-7^\circ) = \)
Применяем формулы для синуса и косинуса разности:
\( \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = \sin(x — y); \)
Подставляем и получаем:
\( \sin 53^\circ \cdot \cos 7^\circ + \cos 53^\circ \cdot \sin 7^\circ = \sin(53^\circ + 7^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
6) \( \sin(a + \beta) — \cos(a — \beta) — \sin(a — \beta) — \cos(a + \beta) = \)
Применяем формулы для синусов и косинусов разности и суммы:
\( \sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y \);
Получаем:
\( = \sin((a + \beta) — (a — \beta)) = \sin(a + \beta — a + \beta) = \sin 2\beta; \)
Ответ: \( \sin 2\beta \).
7) \( (\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta)^2 + (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)^2 = \)
Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):
\( = \sin^2(a + \beta) + \cos^2(a + \beta) = 1; \)
Ответ: \( 1 \).
8) \( \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 20^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 10^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ} \)
Рассмотрим числитель:
\( \sin 20^\circ \cdot \cos 5^\circ — \cos 20^\circ \cdot \sin 5^\circ \), что является разностью синусов, используя формулу для синуса разности:
\( \sin(x — y) = \sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y \), где \( x = 20^\circ \) и \( y = 5^\circ \). Таким образом, числитель можно записать как:
\( = \sin(20^\circ — 5^\circ) = \sin 15^\circ \)
Теперь рассмотрим знаменатель:
\( \cos 10^\circ \cdot \cos 5^\circ — \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ \), что является косинусом суммы, по формуле для косинуса суммы:
\( \cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y \), где \( x = 10^\circ \) и \( y = 5^\circ \). Следовательно, знаменатель можно выразить как:
\( = \cos(10^\circ + 5^\circ) = \cos 15^\circ \)
Теперь объединяем числитель и знаменатель:
\( = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \tan 15^\circ; \)
Ответ: \( \tan 15^\circ \).
9) \( \cos(a + \beta) + 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)
Применяем формулы для косинуса суммы и синуса суммы:
\( \cos(x + y) = \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y \);
Получаем:
\( = (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)
Заменяем и упрощаем:
\( = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta = \cos(a — \beta); \)
Ответ: \( \cos(a — \beta) \).
