ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \cos 6a \cos 2a — \sin 6a \sin 2a; \)

2) \( \sin 12^\circ \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cos 12^\circ; \)

3) \( \sin(-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ; \)

4) \( \cos(a + \beta) \cos(a — \beta) + \sin(a + \beta) \sin(a — \beta); \)

5) \( \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ}; \)

6) \( \cos(a — \beta) — 2 \sin a \sin \beta. \)

Упростите выражение:

1) \( \cos 6a \cdot \cos 2a — \sin 6a \cdot \sin 2a = \cos(6a + 2a) = \cos 8a; \)

Ответ: \( \cos 8a \).

2) \( \sin 12^\circ \cdot \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cdot \cos 12^\circ = \sin(12^\circ + 18^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}; \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

3) \( \sin(-15^\circ) \cdot \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ = \)

\( = \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ — \sin 15^\circ \cdot \cos 75^\circ = \sin(75^\circ — 15^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4) \( \cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) + \sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \)

\( = \cos((a + \beta) — (a — \beta)) = \cos(a + \beta — a + \beta) = \cos 2\beta; \)

Ответ: \( \cos 2\beta \).

5) \( \frac{\cos 64^\circ \cdot \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \cdot \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cdot \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cdot \cos 19^\circ} = \)

\( = \cos(64^\circ — 4^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}; \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).

6) \( \cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)

\( = (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)

\( = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta = \cos(a + \beta); \)

Ответ: \( \cos(a + \beta) \).

Упростите выражение:

1) \( \cos 6a \cdot \cos 2a — \sin 6a \cdot \sin 2a = \cos(6a + 2a) = \cos 8a; \)

Для упрощения используем формулу для косинуса суммы и разности:

\( \cos x \cdot \cos y — \sin x \cdot \sin y = \cos(x + y) \), где \( x = 6a \) и \( y = 2a \). Подставляем в выражение:

\( \cos 6a \cdot \cos 2a — \sin 6a \cdot \sin 2a = \cos(6a + 2a) = \cos 8a; \)

Таким образом, после применения формулы получаем, что выражение сводится к \( \cos 8a \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( \cos 8a \).

2) \( \sin 12^\circ \cdot \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cdot \cos 12^\circ = \sin(12^\circ + 18^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}; \)

В этом примере использована формула для синуса суммы углов:

\( \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = \sin(x + y) \), где \( x = 12^\circ \) и \( y = 18^\circ \). Подставляем значения в формулу:

\( \sin 12^\circ \cdot \cos 18^\circ + \sin 18^\circ \cdot \cos 12^\circ = \sin(12^\circ + 18^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}; \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

3) \( \sin(-15^\circ) \cdot \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ = \)

Здесь используется формула для синуса разности и суммы, причем для первого синуса знак минус меняет его на противоположный:

\( \sin(-x) = -\sin x \), так что \( \sin(-15^\circ) = -\sin 15^\circ \). Теперь подставляем в выражение:

\( = -\sin 15^\circ \cdot \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \cdot \sin 75^\circ = \sin(75^\circ — 15^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4) \( \cos(a + \beta) \cdot \cos(a — \beta) + \sin(a + \beta) \cdot \sin(a — \beta) = \)

Здесь применяем формулу для косинуса разности и суммы и синуса разности и суммы:

\( \cos(x + y) \cdot \cos(x — y) + \sin(x + y) \cdot \sin(x — y) =\)

\(= \cos(x + y — x + y) = \cos(2y) = \cos 2\beta; \)

Таким образом, в результате применения данной формулы мы получаем выражение \( \cos 2\beta \), что и требовалось доказать.

Ответ: \( \cos 2\beta \).

5) \( \frac{\cos 64^\circ \cdot \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \cdot \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cdot \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cdot \cos 19^\circ} = \)

Для числителя и знаменателя применяем формулы для косинуса и синуса разности и суммы:

\( \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = \cos(x — y) \), и \( \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = \sin(x + y) \). Подставляем значения углов в формулы:

\( = \cos(64^\circ — 4^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}; \)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).

6) \( \cos(a + \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)

Для этого выражения сначала раскроем скобки и применим формулу для косинуса и синуса разности и суммы:

\( \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y = \cos(x — y); \)

Подставляем в выражение:

\( = (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — 2 \sin a \cdot \sin \beta = \)

Применяем формулу для синуса и получаем:

\( = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta = \cos(a + \beta); \)

Ответ: \( \cos(a + \beta) \).