ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 13^\circ + \tan 47^\circ}{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 47^\circ}; \)

2) \( \frac{\tan 1^\circ — \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \cdot \tan 46^\circ}; \)

3) \( \frac{1 — \tan 27^\circ \cdot \tan 33^\circ}{\tan 27^\circ + \tan 33^\circ}. \)

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 13^\circ + \tan 47^\circ}{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 47^\circ} = \tan(13^\circ + 47^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3};\)

Ответ: \( \sqrt{3} \).

2) \( \frac{\tan 1^\circ — \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \cdot \tan 46^\circ} = \tan(1^\circ — 46^\circ) = \tan(-45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1;\)

Ответ: \( -1 \).

3) \( \frac{1 — \tan 27^\circ \cdot \tan 33^\circ}{\tan 27^\circ + \tan 33^\circ} = \frac{1}{\tan(27^\circ + 33^\circ)} = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3};\)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 13^\circ + \tan 47^\circ}{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 47^\circ} = \tan(13^\circ + 47^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3};\)

Для упрощения используем формулу для тангенса суммы двух углов:

\( \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 — \tan x \cdot \tan y} \), где \( x = 13^\circ \) и \( y = 47^\circ \). Подставляем эти значения:

\( \frac{\tan 13^\circ + \tan 47^\circ}{1 — \tan 13^\circ \cdot \tan 47^\circ} = \tan(13^\circ + 47^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3};\)

Ответ: \( \sqrt{3} \).

2) \( \frac{\tan 1^\circ — \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \cdot \tan 46^\circ} = \tan(1^\circ — 46^\circ) = \tan(-45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1;\)

Здесь применяем формулу для тангенса разности двух углов:

\( \tan(x — y) = \frac{\tan x — \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} \), где \( x = 1^\circ \) и \( y = 46^\circ \). Подставляем эти значения:

\( \frac{\tan 1^\circ — \tan 46^\circ}{1 + \tan 1^\circ \cdot \tan 46^\circ} = \tan(1^\circ — 46^\circ) = \tan(-45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1;\)

Ответ: \( -1 \).

3) \( \frac{1 — \tan 27^\circ \cdot \tan 33^\circ}{\tan 27^\circ + \tan 33^\circ} = \frac{1}{\tan(27^\circ + 33^\circ)} = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3};\)

Для упрощения выражения используем формулу для тангенса суммы углов:

\( \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 — \tan x \cdot \tan y} \), где \( x = 27^\circ \) и \( y = 33^\circ \). Из этой формулы мы находим, что:

\( \frac{1 — \tan 27^\circ \cdot \tan 33^\circ}{\tan 27^\circ + \tan 33^\circ} = \frac{1}{\tan(27^\circ + 33^\circ)} = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3};\)

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).