ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 24^\circ + \tan 36^\circ}{1 — \tan 24^\circ \cdot \tan 36^\circ}; \)

2) \( \frac{\tan 5a — \tan 3a}{1 + \tan 5a \cdot \tan 3a}. \)

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 24^\circ + \tan 36^\circ}{1 — \tan 24^\circ \cdot \tan 36^\circ} = \tan(24^\circ + 36^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \);

Ответ: \( \sqrt{3} \).

2) \( \frac{\tan 5a — \tan 3a}{1 + \tan 5a \cdot \tan 3a} = \tan(5a — 3a) = \tan 2a \);

Ответ: \( \tan 2a \).

Упростите выражение:

1) \( \frac{\tan 24^\circ + \tan 36^\circ}{1 — \tan 24^\circ \cdot \tan 36^\circ} = \tan(24^\circ + 36^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \);

Для упрощения выражения используем формулу для тангенса суммы двух углов:

\( \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 — \tan x \cdot \tan y} \), где \( x = 24^\circ \) и \( y = 36^\circ \). Подставим эти значения:

\( \frac{\tan 24^\circ + \tan 36^\circ}{1 — \tan 24^\circ \cdot \tan 36^\circ} = \tan(24^\circ + 36^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \);

Мы использовали формулу для тангенса суммы, и результат упрощается до \( \tan 60^\circ \), который равен \( \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).

2) \( \frac{\tan 5a — \tan 3a}{1 + \tan 5a \cdot \tan 3a} = \tan(5a — 3a) = \tan 2a \);

Для этого выражения используем формулу для тангенса разности двух углов:

\( \tan(x — y) = \frac{\tan x — \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} \), где \( x = 5a \) и \( y = 3a \). Подставляем эти значения:

\( \frac{\tan 5a — \tan 3a}{1 + \tan 5a \cdot \tan 3a} = \tan(5a — 3a) = \tan 2a \);

После подстановки получаем \( \tan(5a — 3a) = \tan 2a \), что упрощает выражение до \( \tan 2a \).

Ответ: \( \tan 2a \).