Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 21.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( \frac{\cos(a + \beta) + \sin a \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \sin \beta} = 1; \)
2) \( \frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos(45^\circ + a)}{2 \sin(45^\circ + a) — \sqrt{2} \sin a} = \tan a; \)
3) \( \frac{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)} = \tan a; \)
4) \( \frac{\sin a + 2 \sin(60^\circ — a)}{2 \cos(30^\circ — a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a; \)
Доказать тождество:
1) \( \frac{\cos(a + \beta) + \sin a \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \sin \beta} = 1; \)
Раскроем косинусы суммы и разности:
\[
\frac{(\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) + \sin a \cdot \sin \beta}{(\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) — \sin a \cdot \sin \beta} = 1;
\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[
\frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta — \sin a \cdot \sin \beta} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta}{\cos a \cdot \cos \beta} = 1;
\]
Следовательно,
\[
1 = 1;
\]
Тождество доказано.
2) \( \frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos(45^\circ + a)}{2 \sin(45^\circ + a) — \sqrt{2} \sin a} = \tan a; \)
Раскроем косинус и синус суммы:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2(\cos 45^\circ \cdot \cos a — \sin 45^\circ \cdot \sin a)}{2(\sin 45^\circ \cdot \cos a + \cos 45^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{2} \sin a} = \tan a;
\]
Подставим значения \(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) — \sqrt{2} \sin a} = \tan a;
\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — (\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a)}{\sqrt{2} \cos a + \sqrt{2} \sin a — \sqrt{2} \sin a} = \tan a;
\]
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a + \sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \tan a;
\]
\[
\frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \tan a;
\]
\[
\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a;
\]
Тождество доказано.
3) \( \frac{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)} = \tan a; \)
\[
\frac{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)} = \tan a;
\]
Раскроем синусы и косинусы суммы:
\[\frac{(\sin 45^\circ \cdot \cos a + \cos 45^\circ \cdot \sin a) — (\cos 45^\circ \cdot \cos a — \sin 45^\circ \cdot \sin a)}{(\sin 45^\circ \cdot \cos a + \cos 45^\circ \cdot \sin a) + (\cos 45^\circ \cdot \cos a — \sin 45^\circ \cdot \sin a)}=\]
\[= \tan a;\]
Подставим значения \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a} = \tan a;
\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[
\frac{2 \sin a}{2 \cos a} = \tan a;
\]
Следовательно,
\[
\tan a = \tan a;
\]
Тождество доказано.
4) \( \frac{\sin a + 2 \sin(60^\circ — a)}{2 \cos(30^\circ — a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a; \)
\[
\frac{\sin a + 2 \sin(60^\circ — a)}{2 \cos(30^\circ — a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
Раскроем синусы и косинусы суммы и разности:
\[
\frac{\sin a + 2(\sin 60^\circ \cdot \cos a — \cos 60^\circ \cdot \sin a)}{2(\cos 30^\circ \cdot \cos a + \sin 30^\circ \cdot \sin a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
Подставим значения:
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\):
\[
\frac{\sin a + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
Упростим числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sin a + \sqrt{3} \cos a — \sin a}{\sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
\[
\frac{\sqrt{3} \cos a}{\sin a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
Следовательно,
\[
\sqrt{3} \cot a = \sqrt{3} \cot a;
\]
Тождество доказано.
1) Тождество:
\[
\frac{\cos(a + \beta) + \sin a \sin \beta}{\cos(a — \beta) — \sin a \sin \beta} = 1;
\]
Шаг 1: Раскрытие косинусов суммы и разности
По формуле косинуса суммы и разности углов:
\(\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta\)
\(\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta\)
Подставим эти выражения в числитель и знаменатель:
\[
\frac{(\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta) + \sin a \sin \beta}{(\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) — \sin a \sin \beta}
\]
Шаг 2: Упрощение числителя и знаменателя
В числителе слагаемые \(- \sin a \sin \beta\) и \(+ \sin a \sin \beta\) взаимно сокращаются:
\[
\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta + \sin a \sin \beta = \cos a \cos \beta
\]
В знаменателе слагаемые \(+ \sin a \sin \beta\) и \(- \sin a \sin \beta\) также сокращаются:
\[
\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta — \sin a \sin \beta = \cos a \cos \beta
\]
Шаг 3: Итоговое выражение
Подставим упрощённые числитель и знаменатель:
\[
\frac{\cos a \cos \beta}{\cos a \cos \beta} = 1
\]
Таким образом, тождество доказано.
2) Тождество:
\[
\frac{\sqrt{2} \cos a — 2 \cos(45^\circ + a)}{2 \sin(45^\circ + a) — \sqrt{2} \sin a} = \tan a;
\]
Шаг 1: Раскрытие суммы углов
Используем формулы:
\(\cos(45^\circ + a) = \cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a\)
\(\sin(45^\circ + a) = \sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a\)
Подставим в выражение:
\[\frac{\sqrt{2} \cos a — 2(\cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a)}{2(\sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a) — \sqrt{2} \sin a}\]
Шаг 2: Подстановка значений косинусов и синусов 45°
Известно, что:
\(\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Подставим эти значения:
\[\frac{\sqrt{2} \cos a — 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right) — \sqrt{2} \sin a}\]
Шаг 3: Упрощение числителя
В числителе раскрываем скобки:
\[\sqrt{2} \cos a — \left(\sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \sin a\right) = \sqrt{2} \cos a — \sqrt{2} \cos a+\]
\[+ \sqrt{2} \sin a = \sqrt{2} \sin a\]
Шаг 4: Упрощение знаменателя
В знаменателе:
\[
\sqrt{2} \cos a + \sqrt{2} \sin a — \sqrt{2} \sin a = \sqrt{2} \cos a
\]
Шаг 5: Итоговое выражение
Подставим упрощённые числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a
\]
Тождество доказано.
3) Тождество:
\[
\frac{\sin(45^\circ + a) — \cos(45^\circ + a)}{\sin(45^\circ + a) + \cos(45^\circ + a)} = \tan a;
\]
Шаг 1: Раскрытие суммы углов
Используем формулы:
\(\sin(45^\circ + a) = \sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a\)
\(\cos(45^\circ + a) = \cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a\)
Подставим в выражение:
\[
\frac{(\sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a) — (\cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a)}{(\sin 45^\circ \cos a + \cos 45^\circ \sin a) + (\cos 45^\circ \cos a — \sin 45^\circ \sin a)}
\]
Шаг 2: Подстановка значений косинусов и синусов 45°
Подставим \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a}
\]
Шаг 3: Упрощение числителя и знаменателя
В числителе:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = 0 + \sqrt{2} \sin a = \sqrt{2} \sin a
\]
В знаменателе:
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \sqrt{2} \cos a + 0 = \sqrt{2} \cos a
\]
Шаг 4: Итоговое выражение
\[
\frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a
\]
Тождество доказано.
4) Тождество:
\[
\frac{\sin a + 2 \sin(60^\circ — a)}{2 \cos(30^\circ — a) — \sqrt{3} \cos a} = \sqrt{3} \cot a;
\]
Шаг 1: Раскрытие синусов и косинусов суммы и разности
Используем формулы:
\(\sin(60^\circ — a) = \sin 60^\circ \cos a — \cos 60^\circ \sin a\)
\(\cos(30^\circ — a) = \cos 30^\circ \cos a + \sin 30^\circ \sin a\)
Подставим в выражение:
\[
\frac{\sin a + 2(\sin 60^\circ \cos a — \cos 60^\circ \sin a)}{2(\cos 30^\circ \cos a + \sin 30^\circ \sin a) — \sqrt{3} \cos a}
\]
Шаг 2: Подстановка значений тригонометрических констант
Известно, что:
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Подставляем:
\[
\frac{\sin a + 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a}
\]
Шаг 3: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:
\[
\sin a + \sqrt{3} \cos a — \sin a = \sqrt{3} \cos a
\]
Шаг 4: Упрощение знаменателя
Раскроем скобки в знаменателе:
\[
\sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a = \sin a
\]
Шаг 5: Итоговое выражение
\[
\frac{\sqrt{3} \cos a}{\sin a} = \sqrt{3} \cot a
\]
Тождество доказано.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!