ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \( y = 3x — 1 \);

2) \( y = \frac{1}{x} \);

3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \);

4) \( y = \frac{1}{3}x + 4 \).

1) \( y = 3x — 1 \):
\( y + 1 = 3x \);
\( x = \frac{y + 1}{3} \).
Обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \).

2) \( y = \frac{1}{x} \):
\( xy = 1 \);
\( x = \frac{1}{y} \).
Обратная функция совпадает с исходной: \( y = \frac{1}{x} \).

3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \);

\( y(2x + 1) = 1 \);

\( 2yx + y = 1 \);

\( 2yx = 1 — y \);

\( x = \frac{1 — y}{2y} = \frac{1}{2y} — \frac{1}{2} \);

Ответ: \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).

4) \( y = \frac{1}{3x} + 4 \):
\( y — 4 = \frac{1}{3x} \);
\( 3x(y — 4) = 1 \);
\( x = \frac{1}{3(y — 4)} \).
Обратная функция: \( y = \frac{1}{3x} + 4 \) (совпадает с исходной).

1) \( y = 3x — 1 \):
Начнём с анализа исходного уравнения \( y = 3x — 1 \), которое представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом 3 и свободным членом -1.
Для того чтобы найти обратную функцию, нужно изолировать переменную \( x \) через \( y \).
Первым шагом прибавляем 1 к обеим частям уравнения: \( y + 1 = 3x \). Это действие переносит свободный член в левую часть.
Далее делим обе части на 3, чтобы отделить \( x \): \( x = \frac{y + 1}{3} \).
Теперь, чтобы записать обратную функцию, меняем роли \( x \) и \( y \): получаем \( y = \frac{x + 1}{3} \).
Таким образом, обратная функция преобразует каждое значение исходной функции обратно в его аргумент.

2) \( y = \frac{1}{x} \):
Исходное уравнение \( y = \frac{1}{x} \) описывает гиперболу, и оно симметрично относительно прямой \( y = x \).
Чтобы найти обратную функцию, умножаем обе части уравнения на \( x \): \( xy = 1 \). Это позволяет убрать дробь.
Затем делим обе части на \( y \), чтобы выразить \( x \): \( x = \frac{1}{y} \).
После обмена переменных получаем \( y = \frac{1}{x} \), что совпадает с исходным уравнением, что объясняется симметричностью данной функции.

3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \).

Необходимо найти функцию, обратную к данной, то есть выразить переменную \( x \) через переменную \( y \).

Для этого первым шагом умножаем обе части равенства на знаменатель \( 2x + 1 \), чтобы избавиться от дроби: \( y(2x + 1) = 1 \).

Раскрываем скобки в левой части уравнения: \( 2xy + y = 1 \). Здесь мы получили линейное уравнение относительно переменной \( x \), в котором присутствует слагаемое с \( x \) и свободное слагаемое.

Переносим свободное слагаемое \( y \) в правую часть, изменяя его знак: \( 2xy = 1 — y \). Теперь с левой стороны находится только член, содержащий \( x \).

Делим обе части уравнения на \( 2y \), чтобы получить \( x \) в явном виде: \( x = \frac{1 — y}{2y} \).

Дробь \( \frac{1 — y}{2y} \) можно разложить на два отдельных слагаемых, разделив каждое слагаемое числителя на \( 2y \): \( x = \frac{1}{2y} — \frac{y}{2y} \).

Так как \( \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} \), получаем окончательно: \( x = \frac{1}{2y} — \frac{1}{2} \).

Это и есть выражение переменной \( x \) через \( y \) для обратной функции. Чтобы записать обратную функцию в привычной форме, меняем местами \( x \) и \( y \): \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).

Ответ: \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).

4) \( y = \frac{1}{3x} + 4 \):
Данная функция — это гипербола, сдвинутая вверх на 4 единицы.
Вычтем 4 с обеих сторон: \( y — 4 = \frac{1}{3x} \).
Теперь перемножим крест-накрест: \( 3x(y — 4) = 1 \).
Разделим обе части на \( 3(y — 4) \), чтобы изолировать \( x \): \( x = \frac{1}{3(y — 4)} \).
Меняя местами \( x \) и \( y \), получаем \( y = \frac{1}{3x} + 4 \), что полностью совпадает с исходной функцией, а значит, она сама себе обратная.