Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите функцию, обратную к данной:
1) \( y = 3x — 1 \);
2) \( y = \frac{1}{x} \);
3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \);
4) \( y = \frac{1}{3}x + 4 \).
1) \( y = 3x — 1 \):
\( y + 1 = 3x \);
\( x = \frac{y + 1}{3} \).
Обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \).
2) \( y = \frac{1}{x} \):
\( xy = 1 \);
\( x = \frac{1}{y} \).
Обратная функция совпадает с исходной: \( y = \frac{1}{x} \).
3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \);
\( y(2x + 1) = 1 \);
\( 2yx + y = 1 \);
\( 2yx = 1 — y \);
\( x = \frac{1 — y}{2y} = \frac{1}{2y} — \frac{1}{2} \);
Ответ: \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).
4) \( y = \frac{1}{3x} + 4 \):
\( y — 4 = \frac{1}{3x} \);
\( 3x(y — 4) = 1 \);
\( x = \frac{1}{3(y — 4)} \).
Обратная функция: \( y = \frac{1}{3x} + 4 \) (совпадает с исходной).
1) \( y = 3x — 1 \):
Начнём с анализа исходного уравнения \( y = 3x — 1 \), которое представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом 3 и свободным членом -1.
Для того чтобы найти обратную функцию, нужно изолировать переменную \( x \) через \( y \).
Первым шагом прибавляем 1 к обеим частям уравнения: \( y + 1 = 3x \). Это действие переносит свободный член в левую часть.
Далее делим обе части на 3, чтобы отделить \( x \): \( x = \frac{y + 1}{3} \).
Теперь, чтобы записать обратную функцию, меняем роли \( x \) и \( y \): получаем \( y = \frac{x + 1}{3} \).
Таким образом, обратная функция преобразует каждое значение исходной функции обратно в его аргумент.
2) \( y = \frac{1}{x} \):
Исходное уравнение \( y = \frac{1}{x} \) описывает гиперболу, и оно симметрично относительно прямой \( y = x \).
Чтобы найти обратную функцию, умножаем обе части уравнения на \( x \): \( xy = 1 \). Это позволяет убрать дробь.
Затем делим обе части на \( y \), чтобы выразить \( x \): \( x = \frac{1}{y} \).
После обмена переменных получаем \( y = \frac{1}{x} \), что совпадает с исходным уравнением, что объясняется симметричностью данной функции.
3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \).
Необходимо найти функцию, обратную к данной, то есть выразить переменную \( x \) через переменную \( y \).
Для этого первым шагом умножаем обе части равенства на знаменатель \( 2x + 1 \), чтобы избавиться от дроби: \( y(2x + 1) = 1 \).
Раскрываем скобки в левой части уравнения: \( 2xy + y = 1 \). Здесь мы получили линейное уравнение относительно переменной \( x \), в котором присутствует слагаемое с \( x \) и свободное слагаемое.
Переносим свободное слагаемое \( y \) в правую часть, изменяя его знак: \( 2xy = 1 — y \). Теперь с левой стороны находится только член, содержащий \( x \).
Делим обе части уравнения на \( 2y \), чтобы получить \( x \) в явном виде: \( x = \frac{1 — y}{2y} \).
Дробь \( \frac{1 — y}{2y} \) можно разложить на два отдельных слагаемых, разделив каждое слагаемое числителя на \( 2y \): \( x = \frac{1}{2y} — \frac{y}{2y} \).
Так как \( \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} \), получаем окончательно: \( x = \frac{1}{2y} — \frac{1}{2} \).
Это и есть выражение переменной \( x \) через \( y \) для обратной функции. Чтобы записать обратную функцию в привычной форме, меняем местами \( x \) и \( y \): \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).
Ответ: \( y = \frac{1}{2x} — \frac{1}{2} \).
4) \( y = \frac{1}{3x} + 4 \):
Данная функция — это гипербола, сдвинутая вверх на 4 единицы.
Вычтем 4 с обеих сторон: \( y — 4 = \frac{1}{3x} \).
Теперь перемножим крест-накрест: \( 3x(y — 4) = 1 \).
Разделим обе части на \( 3(y — 4) \), чтобы изолировать \( x \): \( x = \frac{1}{3(y — 4)} \).
Меняя местами \( x \) и \( y \), получаем \( y = \frac{1}{3x} + 4 \), что полностью совпадает с исходной функцией, а значит, она сама себе обратная.
