Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите функцию, обратную к данной:
1) \( y = 0,2x + 3 \);
2) \( y = \frac{1}{x — 1} \);
3) \( y = \frac{4}{x + 2} \);
4) \( y = 4x — 5 \).
1) \( y = 0,2x + 3 \):
Начнём с того, что необходимо выразить \( x \) через \( y \).
Вычтем 3 из обеих частей уравнения: \( y — 3 = 0,2x \).
Разделим обе части на 0,2, чтобы изолировать \( x \): \( x = \frac{y — 3}{0,2} \).
Так как \( \frac{1}{0,2} = 5 \), получаем \( x = 5y — 15 \).
Теперь меняем местами \( x \) и \( y \): \( y = 5x — 15 \).
2) \( y = \frac{1}{x} — 1 \):
Прибавим 1 к обеим частям: \( y + 1 = \frac{1}{x} \).
Выполним обратное преобразование дроби: \( x = \frac{1}{y + 1} \).
Меняем местами \( x \) и \( y \): \( y = \frac{1}{x} — 1 \).
3) \( y = \frac{4}{x + 2} \):
Умножим обе части на \( x + 2 \): \( y(x + 2) = 4 \).
Раскроем скобки: \( yx + 2y = 4 \).
Переносим \( 2y \) вправо: \( yx = 4 — 2y \).
Делим обе части на \( y \): \( x = \frac{4 — 2y}{y} \).
После обмена \( x \) и \( y \) получаем: \( y = \frac{4 — 2x}{x} \).
4) \( y = 4x — 5 \):
Прибавим 5 к обеим частям: \( y + 5 = 4x \).
Разделим обе части на 4: \( x = \frac{y + 5}{4} \).
Меняем \( x \) и \( y \): \( y = \frac{x + 5}{4} \).
1) \( y = 0,2x + 3 \):
Начнём с данного уравнения \( y = 0,2x + 3 \). Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить \( x \) через \( y \).
Сначала изолируем слагаемое с \( x \), вычитая 3 из обеих частей: \( y — 3 = 0,2x \).
Теперь делим обе стороны на \( 0,2 \), чтобы освободить \( x \): \( x = \frac{y — 3}{0,2} \).
Так как \( \frac{1}{0,2} = 5 \), получаем упрощённую запись: \( x = 5y — 15 \).
Далее выполняем обмен ролей переменных \( x \leftrightarrow y \), так как при нахождении обратной функции бывший аргумент становится значением функции, а бывшее значение функции — аргументом. Получаем окончательную обратную функцию:
\( y = 5x — 15 \).
Это означает, что прямая функция масштабирует аргумент в 5 раз и сдвигает его на -15, если рассматривать её в обратном виде.
2) \( y = \frac{1}{x} — 1 \):
Данное уравнение можно переписать для удобства решения. Прибавим 1 к обеим частям: \( y + 1 = \frac{1}{x} \).
Чтобы изолировать \( x \), воспользуемся тем, что если \( \frac{1}{x} = k \), то \( x = \frac{1}{k} \). Применяем это свойство: \( x = \frac{1}{y + 1} \).
Теперь меняем местами \( x \) и \( y \), получая обратную функцию:
\( y = \frac{1}{x} — 1 \).
Здесь мы видим, что обратная функция совпадает с прямой с точностью до замены аргумента и значения, что является характерной чертой функций, обратных самим себе при определённых преобразованиях.
3) \( y = \frac{4}{x + 2} \):
Умножим обе части на \( x + 2 \), чтобы убрать дробь: \( y(x + 2) = 4 \).
Раскроем скобки: \( yx + 2y = 4 \).
Переносим слагаемое \( 2y \) в правую часть, оставляя только члены с \( x \) слева: \( yx = 4 — 2y \).
Делим обе стороны на \( y \), при условии что \( y \neq 0 \), получаем: \( x = \frac{4 — 2y}{y} \).
Теперь меняем местами \( x \) и \( y \), записывая окончательную обратную функцию:
\( y = \frac{4 — 2x}{x} \), что можно упростить до \( y = \frac{4}{x} — 2 \).
Это показывает, что исходная гипербола превращается в гиперболу с изменёнными коэффициентами при обращении.
4) \( y = 4x — 5 \):
Сначала избавляемся от константы -5, прибавив её к обеим частям: \( y + 5 = 4x \).
Делим обе стороны на 4, чтобы выделить \( x \): \( x = \frac{y + 5}{4} \).
После обмена ролями \( x \) и \( y \) получаем обратную функцию:
\( y = 0,25x + 1,25 \).
Эта обратная функция показывает, что масштабирование на 4 и сдвиг на -5 в прямой функции становятся масштабированием на 0,25 и сдвигом на +1,25 в обратной.
