ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \( y = 2\sqrt{x} — 1 \);

2) \( y = x^2, \; D(y) = (-\infty; 0] \);

3) \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \).

Найти функцию, обратную к данной:

1) \( y = 2\sqrt{x} — 1 \):
\( y + 1 = 2\sqrt{x} \);
\( \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2} \);
\( x = \left( \frac{y + 1}{2} \right)^2 = \frac{y^2 + 2y + 1}{4} \);
\( x = 0.25y^2 + 0.5y + 0.25 \);
Ответ: \( y = 0.25x^2 + 0.5x + 0.25 \);

2) \( y = x^2, \; D(y) = (-\infty; 0] \):
\( x^2 = y, \; x \leq 0 \);
\( x = -\sqrt{y} \);
Ответ: \( y = -\sqrt{x} \).

3) \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \):
\( y(1 + x) = 1 — x \);
\( y + yx + x = 1 \);
\( x(y + 1) = 1 — y \);
\( x = \frac{1 — y}{1 + y} \);
Ответ: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \).

1) \( y = 2\sqrt{x} — 1 \):
Начнём с исходного уравнения \( y = 2\sqrt{x} — 1 \). Чтобы найти обратную функцию, изолируем выражение с корнем.
Прибавим 1 к обеим частям: \( y + 1 = 2\sqrt{x} \).
Далее делим обе стороны на 2: \( \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2} \).
Чтобы избавиться от корня, возведём обе части в квадрат: \( x = \left( \frac{y + 1}{2} \right)^2 \).
Раскроем скобки: \( x = \frac{(y + 1)^2}{4} \).
Приведём квадрат суммы: \( x = \frac{y^2 + 2y + 1}{4} \).
Разделим каждый член на 4: \( x = 0,25y^2 + 0,5y + 0,25 \).
Теперь меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию:
\( y = 0,25x^2 + 0,5x + 0,25 \).

2) \( y = x^2, \; D(y) = (-\infty; 0] \):
Имеем \( y = x^2 \) при \( x \leq 0 \).
Перепишем уравнение: \( x^2 = y \).
При условии \( x \leq 0 \) берём отрицательный корень: \( x = -\sqrt{y} \).
Меняем \( x \) и \( y \) местами, получаем обратную функцию:
\( y = -\sqrt{x} \).

3) \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \):
Исходное уравнение: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \).
Умножим обе стороны на \( 1 + x \): \( y(1 + x) = 1 — x \).
Раскроем скобки: \( y + yx = 1 — x \).
Переносим \( x \) влево, а \( y \) вправо: \( y + yx + x = 1 \).
Вынесем \( x \) за скобку: \( x(y + 1) = 1 — y \).
Разделим обе стороны на \( y + 1 \): \( x = \frac{1 — y}{1 + y} \).
Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию:
\( y = \frac{1 — x}{1 + x} \).
Интересно, что в этом случае функция является своей собственной обратной.