ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \( y = \frac{x + 2}{x} \);

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \);

3) \( y = \sqrt{x^2 — 4}, \; D(y) = [2; +\infty) \).

Найти функцию, обратную к данной:

1) \( y = \frac{x + 2}{x} \):
\( yx = x + 2 \);
\( yx — x = 2 \);
\( x(y — 1) = 2 \);
\( x = \frac{2}{y — 1} \);
Ответ: \( y = \frac{2}{x — 1} \);

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \):
\( y\sqrt{x} = 1 \);
\( \sqrt{x} = \frac{1}{y} \);
\( x = \left( \frac{1}{y} \right)^2 \);
Ответ: \( y = \frac{1}{x^2} \);

3) \( y = \sqrt{x^2 — 4}, \; D(y) = [2; +\infty) \):
\( y^2 = x^2 — 4 \);
\( x^2 = y^2 + 4, \; x > 0 \);
\( x = \sqrt{y^2 + 4} \);
Ответ: \( y = \sqrt{x^2 + 4} \).

Найти функцию, обратную к данной:

1) \( y = \frac{x + 2}{x} \):
Нужно выразить переменную \( x \) через \( y \).
Начнём с уравнения: \( y = \frac{x + 2}{x} \).
Умножаем обе части на \( x \): \( yx = x + 2 \).
Переносим слагаемые с \( x \) в одну сторону: \( yx — x = 2 \).
Выносим \( x \) за скобки: \( x(y — 1) = 2 \).
Делим обе части на \( y — 1 \): \( x = \frac{2}{y — 1} \).
Следовательно, обратная функция: \( y = \frac{2}{x — 1} \).

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \):
Умножаем обе части на \( \sqrt{x} \): \( y\sqrt{x} = 1 \).
Делим на \( y \): \( \sqrt{x} = \frac{1}{y} \).
Возводим в квадрат: \( x = \left( \frac{1}{y} \right)^2 \).
Отсюда обратная функция: \( y = \frac{1}{x^2} \).

3) \( y = \sqrt{x^2 — 4}, \; D(y) = [2; +\infty) \):
Возводим обе части в квадрат: \( y^2 = x^2 — 4 \).
Прибавляем 4: \( x^2 = y^2 + 4 \).
Так как \( x > 0 \), берём положительный корень: \( x = \sqrt{y^2 + 4} \).
Получаем обратную функцию: \( y = \sqrt{x^2 + 4} \).