ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли уравнения:

1) \(-2x = -6\) и \(\frac{1}{3}x = 1\);

2) \(x — 5 = 0\) и \(x(x — 5) = 0\);

3) \(\frac{6}{x} = 0\) и \(x^2 = -4\);

4) \(x + 1 = 1 + x\) и \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\);

5) \(x^3 = 1\) и \(|x| = 1\);

6) \(x^{100} = 1\) и \(x^{1000} = 1\);

7) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(x = x\);

8) \(x^2 + 2x + 1 = 0\) и \(x + 1 = 0\);

9) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\) и \(x — 1 = 0\);

10) \(\frac{x^2 — 9}{x + 2}= 0\) и \(x^2 — 9 = 0\)?

Проверка равносильности уравнений:

1) \(-2x = -6\) и \(\frac{1}{3}x = 1\)
Решим первое уравнение:
\(-2x = -6 \ \ \ |:(-6)\) — некорректно, нужно делить обе части на \(-2\):
\(x = \frac{-6}{-2} = 3\)
Теперь проверим второе:
\(\frac{1}{3}x = 1 \ \ \ | \cdot 3\) → \(x = 3\)
Обе системы дают одно и то же решение \(x = 3\), значит равносильны.

2) \(x — 5 = 0\) и \(x(x — 5) = 0\)
Первое: \(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
Второе: \(x(x — 5) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 5\)
Множества решений различны (\(\{5\}\) и \(\{0,5\}\)), значит неравносильны.

3) \(\frac{6}{x} = 0\) и \(x^2 = -4\)
Первое: при \(x \neq 0\), умножим на \(x\): \(6 = 0\) — противоречие, решений нет (\(\Rightarrow\))
Второе: \(x^2 = -4\) — в действительных числах решений нет (\(\Rightarrow\))
Оба множества решений пустые, значит равносильны.

4) \(x + 1 = 1 + x\) и \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\)
Первое: \(x + 1 = 1 + x\) → \(0 = 0\) → \(x \in \mathbb{R}\)
Второе: при \(x^2 + 1 \neq 0\) (всегда верно для вещественных \(x\)), получаем \(1 = 1\) → \(x \in \mathbb{R}\)
Одинаковые множества решений, значит равносильны.

5) \(x^3 = 1\) и \(|x| = 1\)
Первое: \(x = \sqrt[3]{1} = 1\)
Второе: \(|x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
Множества решений \(\{1\}\) и \(\{-1, 1\}\) различны, значит неравносильны.

6) \(x^{100} = 1\) и \(x^{1000} = 1\)
Первое: чётная степень, значит \(x = \pm 1\)
Второе: тоже чётная степень, \(x = \pm 1\)
Множества совпадают, значит равносильны.

7) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(x = x\)
Первое: \(\frac{x}{x} = 1\) при \(x \neq 0\) → \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
Второе: тождество \(x = x\) верно при всех \(x \in \mathbb{R}\)
Множества различны, значит неравносильны.

8) \(x^2 + 2x + 1 = 0\) и \(x + 1 = 0\)
Первое: \((x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1\)
Второе: \(x = -1\)
Одинаковые множества решений, значит равносильны.

9) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\) и \(x — 1 = 0\)
Первое: \(\frac{(x — 1)(x + 1)}{x + 1} = 0\) при \(x \neq -1\) → \(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Второе: \(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Совпадают, значит равносильны.

10) \(\frac{x^2 — 9}{x + 2} = 0\) и \(x^2 — 9 = 0\)
Первое: \(x^2 — 9 = 0\) при \(x \neq -2\) → \(x = 3\) или \(x = -3\), но условие \(x \neq -2\) оба решения не исключает
Второе: \(x = 3\) или \(x = -3\)
Одинаковые множества решений, значит равносильны.

Проверка равносильности данных пар уравнений с подробным пошаговым разбором:

1) \(-2x = -6\) и \(\frac{1}{3}x = 1\)
Пошаговое решение:
Начнём с первого уравнения: \(-2x = -6\). Чтобы найти \(x\), делим обе части на \(-2\):
\(x = \frac{-6}{-2} = 3\).
Теперь второе уравнение: \(\frac{1}{3}x = 1\). Умножаем обе части на 3: \(x = 3\).
Оба уравнения имеют одинаковое единственное решение \(x = 3\), значит они равносильны.

2) \(x — 5 = 0\) и \(x(x — 5) = 0\)
Первое уравнение: \(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).
Второе уравнение: \(x(x — 5) = 0 \Rightarrow x = 0\) или \(x = 5\).
Первое уравнение имеет одно решение \(\{5\}\), второе — два решения \(\{0,5\}\). Множества решений не совпадают, значит уравнения неравносильны.

3) \(\frac{6}{x} = 0\) и \(x^2 = -4\)
Первое уравнение: при \(x \neq 0\) умножаем на \(x\): получаем \(6 = 0\), что невозможно. Решений нет, значит множество решений пустое (\(\Rightarrow\)).
Второе уравнение: \(x^2 = -4\) в области действительных чисел не имеет решений (\(\Rightarrow\)).
Оба уравнения не имеют решений в \(\mathbb{R}\), значит они равносильны.

4) \(x + 1 = 1 + x\) и \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\)
Первое: после упрощения \(x + 1 = 1 + x \Rightarrow 0 = 0\), что верно для любых \(x\). Следовательно, множество решений — все действительные числа \(\mathbb{R}\).
Второе: знаменатель \(x^2 + 1\) всегда положителен для всех действительных \(x\), поэтому деление корректно. После упрощения \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\) получаем тождество \(1 = 1\), верное для всех \(x \in \mathbb{R}\).
Оба уравнения имеют одинаковое множество решений \(\mathbb{R}\), значит они равносильны.

5) \(x^3 = 1\) и \(|x| = 1\)
Первое: \(x^3 = 1 \Rightarrow x = 1\).
Второе: \(|x| = 1 \Rightarrow x = 1\) или \(x = -1\).
Множества решений \(\{1\}\) и \(\{-1,1\}\) различны, значит уравнения неравносильны.

6) \(x^{100} = 1\) и \(x^{1000} = 1\)
В обоих случаях степень чётная, поэтому в вещественных числах \(x = 1\) или \(x = -1\).
Множества решений совпадают (\(\{-1,1\}\)), значит уравнения равносильны.

7) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(x = x\)
Первое: деление на \(x\) допустимо только при \(x \neq 0\), и тогда \(\frac{x}{x} = 1 \Rightarrow 1 = 1\), что верно для любых \(x \neq 0\). Множество решений — \((-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).
Второе: \(x = x\) — тождество, верное при любых \(x \in \mathbb{R}\).
Множества решений различны, значит уравнения неравносильны.

8) \(x^2 + 2x + 1 = 0\) и \(x + 1 = 0\)
Первое: раскладываем квадратный трёхчлен \((x+1)^2 = 0\), получаем \(x = -1\).
Второе: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\).
Множества решений совпадают (\(\{-1\}\)), значит уравнения равносильны.

9) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\) и \(x — 1 = 0\)
Первое: разложим числитель на множители \((x — 1)(x + 1)\) и сократим на \(x + 1\), учитывая условие \(x \neq -1\). Получаем \(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1\).
Второе: \(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1\).
Множества решений совпадают (\(\{1\}\)), значит уравнения равносильны.

10) \(\frac{x^2 — 9}{x + 2} = 0\) и \(x^2 — 9 = 0\)
Первое: \(x^2 — 9 = 0 \Rightarrow (x — 3)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 3\) или \(x = -3\), при этом \(x \neq -2\) не исключает ни одного из найденных решений.
Второе: \(x^2 — 9 = 0 \Rightarrow x = 3\) или \(x = -3\).
Множества решений одинаковы (\(\{-3,3\}\)), значит уравнения равносильны.