Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли уравнения:
1) -2x=-6 и (1/3)x=1; 6) x^100=1 и x^1000=1;
2) x-5=0 и x(x-5)=0; 7) x/x=1 и x=x;
3) 6/x=0 и x^2=-4; 8) x^2+2x+1=0 и x+1=0;
4) x+1=1+x и (x^2+1)/(x^2+1)=1; 9) (x^2-1)/(x+1)=0 и x-1=0;
5) x^3=1 и |x|=1; 10) (x^2-9)/(x+2)=0 и x^2-9=0?
Равносильны ли уравнения:
1) –2x = –6 и (1/3)x = 1;
Первое уравнение:
–2x = –6 | : (–6);
(1/3)x = 1;
Ответ: равносильны.
2) x – 5 = 0 и x(x – 5) = 0;
Первое уравнение:
x – 5 = 0;
x = 5;
Второе уравнение:
x(x – 5) = 0;
x₁ = 0 и x₂ = 5;
Ответ: неравносильны.
3) 6/x = 0 и x² = –4;
Первое уравнение:
6/x = 0, x ≠ 0;
6 = 0;
x ∈ ∅;
Второе уравнение:
x² = –4;
x ∈ ∅;
Ответ: равносильны.
4) x + 1 = 1 + x и (x² + 1)/(x² + 1) = 1;
Первое уравнение:
x + 1 = 1 + x;
x – x = 1 – 1;
0x = 0;
x ∈ ℝ;
Второе уравнение:
x² + 1/(x² + 1) = 1;
1 = 1;
x ∈ ℝ;
Ответ: равносильны.
5) x³ = 1 и |x| = 1;
Первое уравнение:
x³ = 1;
x = ∛1 = 1;
Второе уравнение:
|x| = 1;
x = ±1;
Ответ: неравносильны.
6) x^100 = 1 и x^1000 = 1;
Первое уравнение:
x^100 = 1;
x = ±√1 = ±1;
Второе уравнение:
x^1000 = 1;
x = ±√1 = ±1;
Ответ: равносильны.
7) x/x = 1 и x = x;
Первое уравнение:
x/x = 1, x ≠ 0;
1 = 1;
x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; +∞);
Второе уравнение:
x = x;
x ∈ ℝ;
Ответ: неравносильны.
8) x² + 2x + 1 = 0 и x + 1 = 0;
Первое уравнение:
x² + 2x + 1 = 0;
(x + 1)² = 0;
x + 1 = 0;
Ответ: равносильны.
9) (x² – 1)/(x + 1) = 0 и x – 1 = 0;
Первое уравнение:
(x² – 1)/(x + 1) = 0;
(x + 1)(x – 1)/(x + 1) = 0;
x – 1 = 0;
Ответ: равносильны.
10) (x² – 9)/(x + 2) = 0 и x² – 9 = 0;
Первое уравнение:
(x² – 9)/(x + 2) = 0;
x² – 9 = 0, x ≠ –2;
x² = 9;
x₁ = 3, x₂ = –3, x ≠ –2;
Второе уравнение:
x² – 9 = 0;
x₁ = 3, x₂ = –3;
Ответ: равносильны.
Равносильны ли уравнения:
1) –2x = –6 и (1/3)x = 1
Первое уравнение:
–2x = –6
x = –6 / (–2) = 3
Второе уравнение:
(1/3)x = 1
x = 1 / (1/3) = 3
Оба уравнения имеют одно и то же решение: x = 3.
Ответ: равносильны.
2) x – 5 = 0 и x(x – 5) = 0
Первое уравнение:
x – 5 = 0
x = 5
Второе уравнение:
x(x – 5) = 0
x = 0 или x – 5 = 0 → x = 5
Решения: x = 0 и x = 5
Второе уравнение имеет два корня, а первое — только один.
Ответ: неравносильны.
3) 6/x = 0 и x² = –4
Первое уравнение:
6/x = 0, x ≠ 0
Но 6/x не может быть равен 0 при любом x, уравнение не имеет решений.
Второе уравнение:
x² = –4
Корней в действительных числах нет.
Оба уравнения не имеют действительных корней.
Ответ: равносильны.
4) x + 1 = 1 + x и (x² + 1)/(x² + 1) = 1
Первое уравнение:
x + 1 = 1 + x
0x = 0 — верно при любом x ∈ ℝ
Второе уравнение:
(x² + 1)/(x² + 1) = 1, x² + 1 ≠ 0
Для любого x ∈ ℝ верно (x² + 1 всегда > 0)
Оба уравнения верны при всех действительных x.
Ответ: равносильны.
5) x³ = 1 и |x| = 1
Первое уравнение:
x³ = 1
x = 1
Второе уравнение:
|x| = 1
x = 1 или x = –1
Второе уравнение имеет два корня, а первое — только один.
Ответ: неравносильны.
6) x^100 = 1 и x^1000 = 1
Первое уравнение:
x^100 = 1
x = 1 или x = –1
Второе уравнение:
x^1000 = 1
x = 1 или x = –1
Оба уравнения имеют одинаковые решения.
Ответ: равносильны.
7) x/x = 1 и x = x
Первое уравнение:
x/x = 1, x ≠ 0
x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; +∞)
Второе уравнение:
x = x
x ∈ ℝ
Первое не определено при x = 0, а второе — тождественно верно при всех x.
Ответ: неравносильны.
8) x² + 2x + 1 = 0 и x + 1 = 0
Первое уравнение:
x² + 2x + 1 = 0
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0 → x = –1
Второе уравнение:
x + 1 = 0
x = –1
Одинаковое решение.
Ответ: равносильны.
9) (x² – 1)/(x + 1) = 0 и x – 1 = 0
Первое уравнение:
(x² – 1)/(x + 1) = 0
x² – 1 = 0 → x = 1 или x = –1
Но при x = –1 знаменатель обращается в 0, поэтому x = –1 не подходит.
Остаётся x = 1
Второе уравнение:
x – 1 = 0
x = 1
Совпадают решения.
Ответ: равносильны.
10) (x² – 9)/(x + 2) = 0 и x² – 9 = 0
Первое уравнение:
(x² – 9)/(x + 2) = 0
x² – 9 = 0, x ≠ –2
x = 3, x = –3, но x ≠ –2 (это не корень и так не является).
Второе уравнение:
x² – 9 = 0
x = 3, x = –3
Совпадают решения.
Ответ: равносильны.
Алгебра
