ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) \(x^2 — 4 > 0\) и \(x — 2 > 0\);

2) \(x^2 \geq 0\) и \(x > 0\)?

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) x² – 4 > 0 и x – 2 > 0;

Первое неравенство:
x² – 4 > 0;
(x + 2)(x – 2) > 0;
x < –2 или x > 2;
x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

Второе неравенство:
x – 2 > 0;
x > 2;
x ∈ (2; +∞);

Ответ: 1-е следствие 2-го.

2) x² ≥ 0 и x > 0;

Первое неравенство:
x² ≥ 0;
x ∈ ℝ;

Второе неравенство:
x > 0;
x ∈ (0; +∞);

Ответ: 1-е следствие 2-го.

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) x² – 4 > 0 и x – 2 > 0;

Первое неравенство:
x² – 4 > 0;
Мы можем разложить на множители: (x + 2)(x – 2) > 0.
Это произведение двух выражений больше нуля, если оба выражения либо положительны, либо оба отрицательны. Рассмотрим два случая:
а) x + 2 > 0 и x – 2 > 0, что даёт x > 2;
б) x + 2 < 0 и x – 2 < 0, что даёт x < –2.
Таким образом, решения первого неравенства: x < –2 или x > 2, то есть x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).

Второе неравенство:
x – 2 > 0;
Решением будет только x > 2, то есть x ∈ (2; +∞).

Сравниваем два множества решений:
Множество решений второго неравенства (x > 2) является подмножеством множества решений первого неравенства. Таким образом, все решения второго неравенства удовлетворяют первому, но не наоборот.

Ответ: 1-е неравенство является следствием 2-го.

2) x² ≥ 0 и x > 0;

Первое неравенство:
x² ≥ 0;
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть это тождество для всех значений x. Решением этого неравенства является весь ряд действительных чисел: x ∈ ℝ.

Второе неравенство:
x > 0;
Решения второго неравенства — все положительные числа: x ∈ (0; +∞).

Сравниваем множества решений:
Множество решений второго неравенства (x > 0) содержится в множестве решений первого неравенства (x ∈ ℝ), так как любое значение x, которое больше нуля, также будет решением первого неравенства. Однако первое неравенство также включает ноль и все отрицательные числа, которые не решают второе неравенство.

Ответ: 1-е неравенство является следствием 2-го.