ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли уравнения:

1) \( x + 6 = 10 \) и \( 2x — 1 = 7 \);

Первое уравнение:

\( x + 6 = 10; \)
\( x = 10 — 6 = 4; \)

Второе уравнение:

\( 2x — 1 = 7; \)
\( 2x = 8; \)
\( x = 4; \)

Ответ: равносильны.

2) \( x^{2} = x \) и \( x = 1 \);

Первое уравнение:

\( x^{2} = x; \)
\( x^{2} — x = 0; \)
\( x(x — 1) = 0; \)
\( x_{1} = 0 \) и \( x_{2} = 1; \)

Ответ: неравносильны.

3) \( x^{2} + 1 = 0 \) и \( \frac{3}{x — 1} = 0 \);

Первое уравнение:

\( x^{2} + 1 = 0; \)
\( x^{2} = -1; \)
\( x \Rightarrow \emptyset \)

Второе уравнение:

\( \frac{3}{x — 1} = 0, \; x \neq 1; \)
\( 3 = 0; \)
\( x \Rightarrow  \emptyset\)

Ответ: равносильны.

4) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 1 \) и \( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1 \);

Первое уравнение:

\( \frac{x + 1}{x + 1} = 1, \; x \neq -1; \)
\( 1 = 1; \)
\( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty); \)

Второе уравнение:

\( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1; \)
\( 1 = 1; \)
\( x \in \mathbb{R}; \)

Ответ: неравносильны.

5) \( \frac{x — 2}{x — 2} = 0 \) и \( 2x^{2} + 3 = 0 \);

Первое уравнение:

\( \frac{x — 2}{x — 2} = 0, \; x \neq 2; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)

Второе уравнение:

\( 2x^{2} + 3 = 0; \)
\( 2x^{2} = -3; \)
\( x^{2} = -1{,}5; \)
\( x \Rightarrow \)

Ответ: равносильны.

6) \( x^{2} + 4x + 4 = 0 \) и \( \frac{x + 2}{x — 1} = 0 \);

Первое уравнение:

\( x^{2} + 4x + 4 = 0; \)
\( (x + 2)^{2} = 0; \)
\( x + 2 = 0; \)
\( x = -2; \)

Второе уравнение:

\( \frac{x + 2}{x — 1} = 0, \; x \neq 1; \)
\( x + 2 = 0; \)
\( x = -2; \)

Ответ: равносильны.

7) \( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0 \) и \( x + 3 = 0 \);

Первое уравнение:

\( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0; \)
\( \frac{(x + 3)(x — 3)}{x — 3} = 0; \)
\( x + 3 = 0; \)

Ответ: равносильны.

8) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 0 \) и \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0 \);

Первое уравнение:

\( \frac{x + 1}{x + 1} = 0, \; x \neq -1; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)

Второе уравнение:

\( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0, \; x \neq \pm 1; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)

Ответ: равносильны.

Равносильны ли уравнения:

1) \( x + 6 = 10 \) и \( 2x — 1 = 7 \);

Первое уравнение:
Начнём с левого уравнения \( x + 6 = 10 \). Чтобы изолировать переменную \( x \), переносим число \( 6 \) в правую часть, меняя знак: \( x = 10 — 6 \). После вычитания получаем \( x = 4 \).

Второе уравнение:
В уравнении \( 2x — 1 = 7 \) переносим \(-1\) вправо: \( 2x = 7 + 1 \), получаем \( 2x = 8 \). Делим обе части на 2 и находим \( x = 4 \). Решения совпадают, уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

2) \( x^{2} = x \) и \( x = 1 \);

Первое уравнение:
Переносим все члены в одну часть: \( x^{2} — x = 0 \), выносим \( x \) за скобку: \( x(x — 1) = 0 \), получаем \( x_{1} = 0 \), \( x_{2} = 1 \).

Второе уравнение:
Очевидно, \( x = 1 \) — единственное решение. Множества решений различны, уравнения неравносильны.

Ответ: неравносильны.

3) \( x^{2} + 1 = 0 \) и \( \frac{3}{x — 1} = 0 \);

Первое уравнение:
\( x^{2} = -1 \) невозможно в действительных числах, решений нет: \( x \Rightarrow \emptyset \).

Второе уравнение:
\( \frac{3}{x — 1} = 0 \) требует нуля в числителе, но 3 ≠ 0, значит, решений нет при \( x \neq 1 \): \( x \Rightarrow  \emptyset\). Оба уравнения без решений — равносильны.

Ответ: равносильны.

4) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 1 \) и \( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1 \);

Первое уравнение:
Верно при \( x \neq -1 \), так как при \( x = -1 \) знаменатель обнуляется.

Второе уравнение:
Всегда верно, так как \( x^{2} + 1 > 0 \) для любых \( x \). Множества решений различны — неравносильны.

Ответ: неравносильны.

5) \( \frac{x — 2}{x — 2} = 0 \) и \( 2x^{2} + 3 = 0 \);

Первое уравнение:
При \( x \neq 2 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \).

Второе уравнение:
\( x^{2} = -1{,}5 \) — решений нет в действительных числах: \( x \Rightarrow \). Оба уравнения без решений — равносильны.

Ответ: равносильны.

6) \( x^{2} + 4x + 4 = 0 \) и \( \frac{x + 2}{x — 1} = 0 \);

Первое уравнение:
\( (x + 2)^{2} = 0 \) даёт \( x = -2 \).

Второе уравнение:
Ноль в числителе при \( x = -2 \), при условии \( x \neq 1 \), выполняется. Решения совпадают — равносильны.

Ответ: равносильны.

7) \( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0 \) и \( x + 3 = 0 \);

Первое уравнение:
Разложение: \( \frac{(x + 3)(x — 3)}{x — 3} = 0 \), при \( x \neq 3 \) сокращаем и получаем \( x + 3 = 0 \), то есть \( x = -3 \).

Второе уравнение:
Даёт то же решение \( x = -3 \). Равносильны.

Ответ: равносильны.

8) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 0 \) и \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0 \);

Первое уравнение:
При \( x \neq -1 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \).

Второе уравнение:
При \( x \neq \pm 1 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \). Оба уравнения без решений — равносильны.

Ответ: равносильны.