Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли уравнения:
1) \(x + 6 = 10\) и \(2x — 1 = 7\);
2) \(x^2 = x\) и \(x = 1\);
3) \(x^2 + 1 = 0\) и \(\frac{3}{x — 1} = 0\);
4) \(x + 1 = 1\) и \(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1\);
5) \(\frac{x — 2}{x — 2} = 0\) и \(2x^2 + 3 = 0\);
6) \(x^2 + 4x + 4 = 0\) и \(\frac{x + 2}{x — 1} = 0\);
7) \(x^2 — 9 = 0\) и \(x + 3 = 0\);
8) \(\frac{x + 1}{x + 1} = 0\) и \(\frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = 0\)?
Равносильны ли уравнения:
1) \( x + 6 = 10 \) и \( 2x — 1 = 7 \);
Первое уравнение:
\( x + 6 = 10; \)
\( x = 10 — 6 = 4; \)
Второе уравнение:
\( 2x — 1 = 7; \)
\( 2x = 8; \)
\( x = 4; \)
Ответ: равносильны.
2) \( x^{2} = x \) и \( x = 1 \);
Первое уравнение:
\( x^{2} = x; \)
\( x^{2} — x = 0; \)
\( x(x — 1) = 0; \)
\( x_{1} = 0 \) и \( x_{2} = 1; \)
Ответ: неравносильны.
3) \( x^{2} + 1 = 0 \) и \( \frac{3}{x — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
\( x^{2} + 1 = 0; \)
\( x^{2} = -1; \)
\( x \Rightarrow \emptyset \)
Второе уравнение:
\( \frac{3}{x — 1} = 0, \; x \neq 1; \)
\( 3 = 0; \)
\( x \Rightarrow \emptyset\)
Ответ: равносильны.
4) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 1 \) и \( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1 \);
Первое уравнение:
\( \frac{x + 1}{x + 1} = 1, \; x \neq -1; \)
\( 1 = 1; \)
\( x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty); \)
Второе уравнение:
\( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1; \)
\( 1 = 1; \)
\( x \in \mathbb{R}; \)
Ответ: неравносильны.
5) \( \frac{x — 2}{x — 2} = 0 \) и \( 2x^{2} + 3 = 0 \);
Первое уравнение:
\( \frac{x — 2}{x — 2} = 0, \; x \neq 2; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)
Второе уравнение:
\( 2x^{2} + 3 = 0; \)
\( 2x^{2} = -3; \)
\( x^{2} = -1{,}5; \)
\( x \Rightarrow \)
Ответ: равносильны.
6) \( x^{2} + 4x + 4 = 0 \) и \( \frac{x + 2}{x — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
\( x^{2} + 4x + 4 = 0; \)
\( (x + 2)^{2} = 0; \)
\( x + 2 = 0; \)
\( x = -2; \)
Второе уравнение:
\( \frac{x + 2}{x — 1} = 0, \; x \neq 1; \)
\( x + 2 = 0; \)
\( x = -2; \)
Ответ: равносильны.
7) \( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0 \) и \( x + 3 = 0 \);
Первое уравнение:
\( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0; \)
\( \frac{(x + 3)(x — 3)}{x — 3} = 0; \)
\( x + 3 = 0; \)
Ответ: равносильны.
8) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 0 \) и \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
\( \frac{x + 1}{x + 1} = 0, \; x \neq -1; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)
Второе уравнение:
\( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0, \; x \neq \pm 1; \)
\( 1 = 0; \)
\( x \Rightarrow \)
Ответ: равносильны.
Равносильны ли уравнения:
1) \( x + 6 = 10 \) и \( 2x — 1 = 7 \);
Первое уравнение:
Начнём с левого уравнения \( x + 6 = 10 \). Чтобы изолировать переменную \( x \), переносим число \( 6 \) в правую часть, меняя знак: \( x = 10 — 6 \). После вычитания получаем \( x = 4 \).
Второе уравнение:
В уравнении \( 2x — 1 = 7 \) переносим \(-1\) вправо: \( 2x = 7 + 1 \), получаем \( 2x = 8 \). Делим обе части на 2 и находим \( x = 4 \). Решения совпадают, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.
2) \( x^{2} = x \) и \( x = 1 \);
Первое уравнение:
Переносим все члены в одну часть: \( x^{2} — x = 0 \), выносим \( x \) за скобку: \( x(x — 1) = 0 \), получаем \( x_{1} = 0 \), \( x_{2} = 1 \).
Второе уравнение:
Очевидно, \( x = 1 \) — единственное решение. Множества решений различны, уравнения неравносильны.
Ответ: неравносильны.
3) \( x^{2} + 1 = 0 \) и \( \frac{3}{x — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
\( x^{2} = -1 \) невозможно в действительных числах, решений нет: \( x \Rightarrow \emptyset \).
Второе уравнение:
\( \frac{3}{x — 1} = 0 \) требует нуля в числителе, но 3 ≠ 0, значит, решений нет при \( x \neq 1 \): \( x \Rightarrow \emptyset\). Оба уравнения без решений — равносильны.
Ответ: равносильны.
4) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 1 \) и \( \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} = 1 \);
Первое уравнение:
Верно при \( x \neq -1 \), так как при \( x = -1 \) знаменатель обнуляется.
Второе уравнение:
Всегда верно, так как \( x^{2} + 1 > 0 \) для любых \( x \). Множества решений различны — неравносильны.
Ответ: неравносильны.
5) \( \frac{x — 2}{x — 2} = 0 \) и \( 2x^{2} + 3 = 0 \);
Первое уравнение:
При \( x \neq 2 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \).
Второе уравнение:
\( x^{2} = -1{,}5 \) — решений нет в действительных числах: \( x \Rightarrow \). Оба уравнения без решений — равносильны.
Ответ: равносильны.
6) \( x^{2} + 4x + 4 = 0 \) и \( \frac{x + 2}{x — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
\( (x + 2)^{2} = 0 \) даёт \( x = -2 \).
Второе уравнение:
Ноль в числителе при \( x = -2 \), при условии \( x \neq 1 \), выполняется. Решения совпадают — равносильны.
Ответ: равносильны.
7) \( \frac{x^{2} — 9}{x — 3} = 0 \) и \( x + 3 = 0 \);
Первое уравнение:
Разложение: \( \frac{(x + 3)(x — 3)}{x — 3} = 0 \), при \( x \neq 3 \) сокращаем и получаем \( x + 3 = 0 \), то есть \( x = -3 \).
Второе уравнение:
Даёт то же решение \( x = -3 \). Равносильны.
Ответ: равносильны.
8) \( \frac{x + 1}{x + 1} = 0 \) и \( \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 1} = 0 \);
Первое уравнение:
При \( x \neq -1 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \).
Второе уравнение:
При \( x \neq \pm 1 \) дробь равна 1, а \( 1 = 0 \) невозможно — решений нет: \( x \Rightarrow \). Оба уравнения без решений — равносильны.
Ответ: равносильны.
