ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Составить какое-нибудь уравнение, равносильное данному:

1) \( |x| = 1 \);

Решение данного уравнения:
\( |x| = 1; \)
\( x = \pm 1; \)

Равносильные уравнения:
\( (x + 1)(x — 1) = 0; \)
\( x^{2} = 1; \)
\( x^{56} + 1 = 2; \)

2) \( x + 6 = x — 2 \);

Решение данного уравнения:
\( x + 6 = x — 2; \)
\( x — x = -2 — 6; \)
\( 0 = -8; \)
\( x \Rightarrow \)

Равносильные уравнения:
\( x^{2} + 4 = 0; \)
\( x^{2} — x + 10 = 0; \)
\( \frac{x + 1}{x + 1} = 0; \)

3) \( \frac{x — 1}{x — 1} = 1 \);

Решение данного уравнения:
\( \frac{x — 1}{x — 1} = 1, \; x \neq 1; \)
\( 1 = 1; \)
\( x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty); \)

Равносильные уравнения:
\( \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x — 1}; \)
\( 5x — 5 = 5x — 5; \)
\( 2x — \frac{x + x}{x — 1} = 0; \)

Составить какое-нибудь уравнение, равносильное данному:

1) \( |x| = 1 \);

Решение данного уравнения:
Запишем условие \( |x| = 1 \). Модуль числа равен 1 тогда и только тогда, когда само число равно либо 1, либо -1. Таким образом, расписывая определение модуля, получаем два уравнения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Это означает, что множество решений исходного уравнения состоит из двух чисел: \( \{ -1; 1 \} \).

Равносильные уравнения:
Так как любое уравнение, имеющее решения \( x = 1 \) и \( x = -1 \), будет равносильным данному, можно записать, например:
\( (x + 1)(x — 1) = 0 \) — произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, что и даёт \( x = \pm 1 \);
\( x^{2} = 1 \) — квадрат числа равен единице только в этих же случаях;
\( x^{56} + 1 = 2 \) — при возведении числа 1 или -1 в чётную степень получаем 1, поэтому при подстановке этих значений равенство выполняется.

2) \( x + 6 = x — 2 \);

Решение данного уравнения:
Запишем \( x + 6 = x — 2 \). Переносим все слагаемые с \( x \) в одну сторону: \( x — x = -2 — 6 \). Получаем \( 0 = -8 \). Это равенство невозможно, так как ноль не равен отрицательному числу, следовательно, решений нет, и можно записать \( x \Rightarrow \), что означает пустое множество решений.

Равносильные уравнения:
Так как решений нет, любое уравнение, не имеющее решений в действительных числах, будет равносильным. Например:
\( x^{2} + 4 = 0 \) — сумма квадрата и положительного числа не может быть равна нулю;
\( x^{2} — x + 10 = 0 \) — дискриминант \( D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 — 40 = -39 < 0 \), значит, корней нет;
\( \frac{x + 1}{x + 1} = 0 \) — при любом \( x \neq -1 \) значение дроби равно 1, что не может быть равно 0, следовательно, решений также нет.

3) \( \frac{x — 1}{x — 1} = 1 \);

Решение данного уравнения:
Для начала отметим, что дробь \( \frac{x — 1}{x — 1} \) определена только при \( x \neq 1 \). В этих случаях числитель равен знаменателю, и дробь равна 1. Таким образом, при \( x \neq 1 \) равенство \( 1 = 1 \) выполняется всегда. Следовательно, область решений — все действительные числа, кроме 1, то есть \( x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \).

Равносильные уравнения:
Любое уравнение, которое выполняется для всех значений \( x \), кроме одного \( x = 1 \), будет равносильным. Например:
\( \frac{1}{x — 1} = \frac{1}{x — 1} \) — тождество при \( x \neq 1 \);
\( 5x — 5 = 5x — 5 \) — равенство левой и правой частей выполняется при любых значениях \( x \), но при этом если ввести условие \( x \neq 1 \), получим ту же область решений;
\( 2x — \frac{x + x}{x — 1} = 0 \) — уравнение преобразуется в тождество при условии \( x \neq 1 \), что даёт тот же набор решений, что и исходное.