Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли неравенства:
1) (x-3)^2(x+4)?0 и x+4?0; 3) (x-2)/(x-4) > 0 и x-2 > 0;
2) (x-3)^2(x+4) < 0 и x+4 < 0; 4) vx?0 и x^4?0?
Равносильны ли неравенства:
1) (x – 3)²(x + 4) ≤ 0 и x + 4 ≤ 0;
Первое неравенство:
(x – 3)²(x + 4) ≤ 0, x = 3;
x + 4 ≤ 0;
x ≤ –4;
x ∈ (–∞; –4] ∪ {3};
Второе неравенство:
x + 4 ≤ 0;
x ≤ –4;
Ответ: неравносильны.
2) (x – 3)²(x + 4) < 0 и x + 4 < 0;
Первое неравенство:
(x – 3)²(x + 4) < 0, x ≠ 3;
x + 4 < 0;
x < –4;
x ∈ (–∞; –4);
Второе неравенство:
x + 4 < 0;
x < –4; Ответ: равносильны. 3) (x – 2)/(x – 4) > 0 и x – 2 > 0;
Первое неравенство:
(x – 2)/(x – 4) > 0, x ≠ 4;
x – 2 > 0;
(x – 2)(x – 4) > 0;
x < 2 или x > 4;
Второе неравенство:
x – 2 > 0;
x > 2;
Ответ: неравносильны.
4) √x ≤ 0 и x⁴ ≤ 0;
Первое неравенство:
√x ≤ 0, x ≥ 0;
x = 0;
x ∈ {0};
Второе неравенство:
x⁴ ≤ 0;
x = 0;
x ∈ {0};
Ответ: равносильны.
Равносильны ли неравенства:
1) (x – 3)²(x + 4) ≤ 0 и x + 4 ≤ 0;
Первое неравенство:
(x – 3)²(x + 4) ≤ 0, x = 3;
Рассмотрим неравенство (x – 3)²(x + 4) ≤ 0. Квадрат любого числа (x – 3)² всегда неотрицателен и равен 0 только при x = 3. Значит, выражение будет неположительным только если x + 4 ≤ 0 (то есть x ≤ –4) и x ≠ 3, потому что при x = 3 выражение равно нулю (допустимо по знаку ≤). Кроме того, само значение x = 3 тоже входит в решение, поскольку при x = 3 всё неравенство обращается в 0.
Значит, совокупность решений такова:
x + 4 ≤ 0 → x ≤ –4, и отдельно x = 3 (точка, в которой квадрат обращается в 0).
Итого: x ∈ (–∞; –4] ∪ {3}.
Второе неравенство:
x + 4 ≤ 0;
Это стандартное линейное неравенство. Решение — все значения x, меньшие либо равные –4: x ≤ –4.
Сравним множества решений. В первом неравенстве множество шире, так как добавляется точка x = 3.
Ответ: неравносильны, так как первое неравенство имеет дополнительное решение x = 3.
2) (x – 3)²(x + 4) < 0 и x + 4 < 0;
Первое неравенство:
(x – 3)²(x + 4) < 0, x ≠ 3;
Квадрат (x – 3)² всегда положителен, кроме случая x = 3. Поэтому произведение (x – 3)²(x + 4) будет меньше нуля, только если (x + 4) < 0 и x ≠ 3.
Получаем:
x + 4 < 0 → x < –4;
x ≠ 3 — но это не имеет значения, так как 3 не принадлежит множеству x < –4.
Решение: x ∈ (–∞; –4).
Второе неравенство:
x + 4 < 0;
Решение также: x < –4.
Ответ: равносильны, так как оба неравенства имеют одинаковое множество решений: x < –4. 3) (x – 2)/(x – 4) > 0 и x – 2 > 0;
Первое неравенство:
(x – 2)/(x – 4) > 0, x ≠ 4;
Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель одного знака.
Рассмотрим:
а) x – 2 > 0 и x – 4 > 0 → x > 4;
б) x – 2 < 0 и x – 4 < 0 → x < 2;
Исключаем x = 4, так как в знаменателе деление на ноль.
Итого: x < 2 или x > 4.
Второе неравенство:
x – 2 > 0;
Это линейное неравенство. Решение — все значения x, большие 2: x > 2.
Сравниваем: первое неравенство допускает x < 2 и x > 4, а второе — только x > 2.
Ответ: неравносильны, так как множества решений разные.
4) √x ≤ 0 и x⁴ ≤ 0;
Первое неравенство:
√x ≤ 0, x ≥ 0;
Корень из x может быть только неотрицательным, поэтому √x ≤ 0 только если √x = 0, то есть x = 0.
Значит, решение: x ∈ {0}.
Второе неравенство:
x⁴ ≤ 0;
Четвёртая степень любого числа всегда неотрицательна, равна нулю только при x = 0.
Значит, решение: x ∈ {0}.
Оба неравенства имеют единственное решение x = 0.
Ответ: равносильны.
Алгебра
