Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли неравенства:
1) \((x — 3)^2(x + 4) \leq 0\) и \(x + 4 \leq 0\);
2) \((x — 3)^2(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);
3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);
4) \(\sqrt{x} \leq 0\) и \(x^4 \leq 0\)?
Равносильны ли неравенства:
1) \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0\) и \(x + 4 \le 0\);
Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0,\ x = 3\).
\(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4\).
С учётом \(x = 3\), получаем \(x \in (-\infty;\ -4] \cup \{3\}\).
Второе неравенство: \(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4\).
Ответ: неравносильны.
2) \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);
Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0,\ x \ne 3\).
\(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\).
Получаем \(x \in (-\infty;\ -4)\).
Второе неравенство: \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\).
Ответ: равносильны.
3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);
Первое неравенство: \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0,\ x \ne 4\).
\((x — 2)(x — 4) > 0 \Rightarrow x < 2\) или \(x > 4\).
Второе неравенство: \(x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2\).
Ответ: неравносильны.
4) \(\sqrt{x} \le 0\) и \(x^{4} \le 0\);
Первое неравенство: \(\sqrt{x} \le 0,\ x \ge 0\).
Выполняется только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}\).
Второе неравенство: \(x^{4} \le 0\).
Четвёртая степень неотрицательна, равна нулю только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}\).
Ответ: равносильны.
Равносильны ли неравенства:
1) \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0\) и \(x + 4 \le 0\);
Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0,\ x = 3;\) Квадрат \((x — 3)^{2} \ge 0\) и равен \(0\) только при \(x = 3\). Выражение неположительно, если \(x + 4 \le 0\) \(\Rightarrow\) \(x \le -4\), а точка \(x = 3\) также подходит (даёт \(0\)).
Итого: \(x \in (-\infty;\ -4] \cup \{3\}.\)
Второе неравенство: \(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4.\)
Сравнение: в первом множестве дополнительно присутствует точка \(x = 3\).
Ответ: неравносильны.
2) \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);
Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0,\ x \ne 3;\) так как \((x — 3)^{2} > 0\) при \(x \ne 3\), нужно \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\). Точка \(x = 3\) в любом случае вне интервала \(x < -4\).
Итого: \(x \in (-\infty;\ -4).\)
Второе неравенство: \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4.\)
Ответ: равносильны.
3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);
Первое неравенство: \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0,\ x \ne 4;\) дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
а) \(x — 2 > 0\) и \(x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4;\)
б) \(x — 2 < 0\) и \(x — 4 < 0 \Rightarrow x < 2.\)
Итого: \(x < 2\) или \(x > 4.\)
Второе неравенство: \(x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2.\)
Ответ: неравносильны.
4) \(\sqrt{x} \le 0\) и \(x^{4} \le 0\);
Первое неравенство: область \(x \ge 0\). Так как \(\sqrt{x} \ge 0\), условие \(\sqrt{x} \le 0\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x} = 0\) \(\Rightarrow\) \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}.\)
Второе неравенство: \(x^{4} \ge 0\) для всех \(x\) и равно \(0\) только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}.\)
Ответ: равносильны.
