ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \((x — 3)^2(x + 4) \leq 0\) и \(x + 4 \leq 0\);

2) \((x — 3)^2(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);

3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);

4) \(\sqrt{x} \leq 0\) и \(x^4 \leq 0\)?

Равносильны ли неравенства:

1) \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0\) и \(x + 4 \le 0\);

Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0,\ x = 3\).

\(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4\).

С учётом \(x = 3\), получаем \(x \in (-\infty;\ -4] \cup \{3\}\).

Второе неравенство: \(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4\).

Ответ: неравносильны.

2) \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);

Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0,\ x \ne 3\).

\(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\).

Получаем \(x \in (-\infty;\ -4)\).

Второе неравенство: \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\).

Ответ: равносильны.

3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);

Первое неравенство: \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0,\ x \ne 4\).

\((x — 2)(x — 4) > 0 \Rightarrow x < 2\) или \(x > 4\).

Второе неравенство: \(x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2\).

Ответ: неравносильны.

4) \(\sqrt{x} \le 0\) и \(x^{4} \le 0\);

Первое неравенство: \(\sqrt{x} \le 0,\ x \ge 0\).

Выполняется только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}\).

Второе неравенство: \(x^{4} \le 0\).

Четвёртая степень неотрицательна, равна нулю только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}\).

Ответ: равносильны.

Равносильны ли неравенства:

1) \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0\) и \(x + 4 \le 0\);

Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) \le 0,\ x = 3;\) Квадрат \((x — 3)^{2} \ge 0\) и равен \(0\) только при \(x = 3\). Выражение неположительно, если \(x + 4 \le 0\) \(\Rightarrow\) \(x \le -4\), а точка \(x = 3\) также подходит (даёт \(0\)).

Итого: \(x \in (-\infty;\ -4] \cup \{3\}.\)

Второе неравенство: \(x + 4 \le 0 \Rightarrow x \le -4.\)

Сравнение: в первом множестве дополнительно присутствует точка \(x = 3\).

Ответ: неравносильны.

2) \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0\) и \(x + 4 < 0\);

Первое неравенство: \((x — 3)^{2}(x + 4) < 0,\ x \ne 3;\) так как \((x — 3)^{2} > 0\) при \(x \ne 3\), нужно \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4\). Точка \(x = 3\) в любом случае вне интервала \(x < -4\).

Итого: \(x \in (-\infty;\ -4).\)

Второе неравенство: \(x + 4 < 0 \Rightarrow x < -4.\)

Ответ: равносильны.

3) \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0\) и \(x — 2 > 0\);

Первое неравенство: \(\frac{x — 2}{x — 4} > 0,\ x \ne 4;\) дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

а) \(x — 2 > 0\) и \(x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4;\)

б) \(x — 2 < 0\) и \(x — 4 < 0 \Rightarrow x < 2.\)

Итого: \(x < 2\) или \(x > 4.\)

Второе неравенство: \(x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2.\)

Ответ: неравносильны.

4) \(\sqrt{x} \le 0\) и \(x^{4} \le 0\);

Первое неравенство: область \(x \ge 0\). Так как \(\sqrt{x} \ge 0\), условие \(\sqrt{x} \le 0\) \(\Rightarrow\) \(\sqrt{x} = 0\) \(\Rightarrow\) \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}.\)

Второе неравенство: \(x^{4} \ge 0\) для всех \(x\) и равно \(0\) только при \(x = 0\), то есть \(x \in \{0\}.\)

Ответ: равносильны.