ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) \(x < -4\) и \(x < 1\);

2) \(x \geq 5\) и \(x > 5\);

3) \(x^2 < 0\) и \(x < 0\)?

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) x < –4 и x < 1;

Первое неравенство:
x < –4;
x ∈ (–∞; –4);

Второе неравенство:
x < 1; x ∈ (–∞; 1); Ответ: 2-е следствие 1-го.

2) x ≥ 5 и x > 5;

Первое неравенство:
x ≥ 5;
x ∈ [5; +∞);

Второе неравенство:
x > 5;
x ∈ (5; +∞);

Ответ: 1-е следствие 2-го.

3) x² < 0 и x < 0;

Первое неравенство:
x² < 0;
x ∈ ∅;

Второе неравенство:
x < 0;
x ∈ (–∞; 0);

Ответ: 2-е следствие 1-го.

Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) x < –4 и x < 1;

Первое неравенство:
x < –4;
Это значит, что x принимает все значения, которые меньше –4. Интервал решений: x ∈ (–∞; –4).

Второе неравенство:
x < 1;
Здесь решения — все значения x, которые меньше 1: x ∈ (–∞; 1).

Сравним множества решений:
Множество x < –4 полностью содержится в множестве x < 1, так как любое число меньше –4, автоматически меньше 1.
Следовательно, если x < –4, то обязательно выполняется и x < 1. Но не всякое число из x < 1 меньше –4. Ответ: 2-е неравенство является следствием 1-го.

2) x ≥ 5 и x > 5;

Первое неравенство:
x ≥ 5;
Здесь решения — все числа, которые больше либо равны 5: x ∈ [5; +∞).

Второе неравенство:
x > 5;
Здесь решения — все числа, которые строго больше 5: x ∈ (5; +∞).

Сравним множества решений:
Множество x > 5 содержится в x ≥ 5, но x = 5 принадлежит только первому неравенству.
То есть, если выполняется x > 5, то обязательно выполняется x ≥ 5, но не наоборот.

Ответ: 1-е неравенство является следствием 2-го.

3) x² < 0 и x < 0;

Первое неравенство:
x² < 0;
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому нет ни одного x, для которого x² < 0. Решений нет: x ∈ ∅.

Второе неравенство:
x < 0;
Здесь решения — все отрицательные числа: x ∈ (–∞; 0).

Сравним множества решений:
Все решения первого неравенства автоматически подходят ко второму, но так как решений у первого неравенства нет, формально это так.
Ответ: 2-е неравенство является следствием 1-го.