ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x — 1)(x + 3)^2(x — 2) < 0\);

2) \(\left| x — 4 \right|(x + 1)(x — 3) > 0\);

3) \((2x + 1)^2(x — 1)(x — 2) ≥ 0\);

4) \((x — 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \geq 0\).

Решить неравенство:

1) \( (x — 1)(x + 3)^2(x — 2) < 0 \); Второе выражение: \( (x + 3)^2 \ge 0 \); \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \);
Неравенство:
\( (x — 1)(x — 2) < 0 \);
\( 1 < x < 2 \);
Ответ: \( x \in (1; 2) \).

2) \( |x — 4|(x + 1)(x — 3) > 0 \);
Первое выражение:
\( |x — 4| \ge 0 \);
\( x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \);
Неравенство:
\( (x + 1)(x — 3) > 0 \);
\( x < -1 \) или \( x \ge 3 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).

3) \( (2x + 1)(x — 1)(x — 2) \ge 0 \); Первое выражение: \( (2x + 1)^2 \ge 0 \); \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \);
Неравенство:
\( (x — 1)(x — 2) \ge 0 \);
\( x \le 1 \) или \( x \ge 2 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).

4) \( (x — 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0 \);
\( (x + 4)(x — 5)(x + 3)^2 \ge 0 \);
Третье выражение:
\( (x + 3)^2 \ge 0 \);
\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \);
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) \ge 0 \);
\( x \le -4 \) или \( x \ge 5 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty) \).

Решить неравенство:

1) \( (x — 1)(x + 3)^2(x — 2) < 0 \);
Первое выражение:
\( (x — 1)(x + 3)^2(x — 2) < 0 \).
Второе выражение:
\( (x + 3)^2 \ge 0 \).
Это выражение всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю. Таким образом, \( (x + 3)^2 \) всегда \( \ge 0 \).
Значит, неравенство сводится к:
\( (x — 1)(x — 2) < 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x < 1 \), оба множителя \( (x — 1) \) и \( (x — 2) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (1; 2) \), \( (x — 1) \) положительный, а \( (x — 2) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным, что соответствует решению неравенства. — Когда \( x > 2 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (1; 2) \).
Ответ: \( x \in (1; 2) \).

2) \( |x — 4|(x + 1)(x — 3) > 0 \);
Первое выражение:
\( |x — 4| \ge 0 \).
Абсолютное значение любого числа всегда больше либо равно нулю, следовательно, \( |x — 4| \) всегда \( \ge 0 \). Это выражение не даёт ограничений для \( x \).
Неравенство:
\( (x + 1)(x — 3) > 0 \).
Теперь рассмотрим это неравенство:
— Когда \( x < -1 \), \( (x + 1) \) и \( (x — 3) \) оба отрицательные, и их произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-1; 3) \), \( (x + 1) \) положительное, а \( (x — 3) \) отрицательное, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 3 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \)..
Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).

3) \( (2x + 1)(x — 1)(x — 2) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( (2x + 1)^2 \ge 0 \).
Квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю. Следовательно, выражение \( (2x + 1)^2 \) всегда неотрицательно.
Неравенство:
\( (x — 1)(x — 2) \ge 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x \le 1 \), оба множителя \( (x — 1) \) и \( (x — 2) \) будут отрицательными, и их произведение будет положительным.
— Когда \( x \ge 2 \), оба множителя \( (x — 1) \) и \( (x — 2) \) будут положительными, и произведение также будет положительным.
— Когда \( x \in (1; 2) \), один множитель \( (x — 1) \) положительный, а \( (x — 2) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).

4) \( (x — 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0 \);
Неравенство:
\( (x — 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0 \).
Третье выражение:
\( (x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2 \).
Так как квадрат любого числа всегда положителен, то \( (x + 3)^2 \) всегда \( \ge 0 \), то есть оно всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство сводится к:
\( (x — 5)(x + 4) \ge 0 \).
Теперь решим это неравенство:
— Когда \( x < -4 \), оба множителя \( (x — 5) \) и \( (x + 4) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-4; 5) \), \( (x — 5) \) отрицательный, а \( (x + 4) \) положительный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup \{-3\} \cup [5; +\infty) \).