Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.10 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (x-1)(x+3)^2(x-2) < 0; 3) (2x+1)^2(x-1)(x-2)?0;
2) |x-4|(x+1)(x-3) > 0; 4) (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)?0.
Решить неравенство:
1) (x – 1)(x + 3)²(x – 2) < 0; Второе выражение: (x + 3)² ≥ 0; x + 3 = 0 => x = –3;
Неравенство:
(x – 1)(x – 2) < 0;
1 < x < 2;
Ответ: x ∈ (1; 2).
2) |x – 4|(x + 1)(x – 3) > 0;
Первое выражение:
|x – 4| ≥ 0;
x – 4 = 0 => x = 4;
Неравенство:
(x + 1)(x – 3) > 0;
x < –1 или x ≥ 3;
Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞).
3) (2x + 1)(x – 1)(x – 2) ≥ 0; Первое выражение: (2x + 1)² ≥ 0; 2x + 1 = 0 => x = –1/2;
Неравенство:
(x – 1)(x – 2) ≥ 0;
x ≤ 1 или x ≥ 2;
Ответ: x ∈ (–∞; 1] ∪ [2; +∞).
4) (x – 5)(x + 4)(x² + 6x + 9) ≥ 0;
(x + 4)(x – 5)(x + 3)² ≥ 0;
Третье выражение:
(x + 3)² ≥ 0;
x + 3 = 0 => x = –3;
Неравенство:
(x + 4)(x – 5) ≥ 0;
x ≤ –4 или x ≥ 5;
Ответ: x ∈ (–∞; –4] ∪ {–3} ∪ [5; +∞).
Решить неравенство:
1) (x – 1)(x + 3)²(x – 2) < 0;
Первое выражение:
(x – 1)(x + 3)²(x – 2) < 0.
Второе выражение:
(x + 3)² ≥ 0.
Это выражение всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю. Таким образом, (x + 3)² всегда ≥ 0.
Значит, неравенство сводится к:
(x – 1)(x – 2) < 0.
Теперь решим это неравенство:
— Когда x < 1, оба множителя (x – 1) и (x – 2) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (1; 2), (x – 1) положительный, а (x – 2) отрицательный, и произведение будет отрицательным, что соответствует решению неравенства. — Когда x > 2, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (1; 2).
Ответ: x ∈ (1; 2).
2) |x – 4|(x + 1)(x – 3) > 0;
Первое выражение:
|x – 4| ≥ 0.
Абсолютное значение любого числа всегда больше либо равно нулю, следовательно, |x – 4| всегда ≥ 0. Это выражение не даёт ограничений для x.
Неравенство:
(x + 1)(x – 3) > 0.
Теперь рассмотрим это неравенство:
— Когда x < –1, (x + 1) и (x – 3) оба отрицательные, и их произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–1; 3), (x + 1) положительное, а (x – 3) отрицательное, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 3, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞)..
Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ (2; +∞).
3) (2x + 1)(x – 1)(x – 2) ≥ 0;
Первое выражение:
(2x + 1)² ≥ 0.
Квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю. Следовательно, выражение (2x + 1)² всегда неотрицательно.
Неравенство:
(x – 1)(x – 2) ≥ 0.
Теперь решим это неравенство:
— Когда x ≤ 1, оба множителя (x – 1) и (x – 2) будут отрицательными, и их произведение будет положительным.
— Когда x ≥ 2, оба множителя (x – 1) и (x – 2) будут положительными, и произведение также будет положительным.
— Когда x ∈ (1; 2), один множитель (x – 1) положительный, а (x – 2) отрицательный, и произведение будет отрицательным.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; 1] ∪ [2; +∞).
Ответ: x ∈ (–∞; 1] ∪ [2; +∞).
4) (x – 5)(x + 4)(x² + 6x + 9) ≥ 0;
Неравенство:
(x – 5)(x + 4)(x² + 6x + 9) ≥ 0.
Третье выражение:
(x² + 6x + 9) = (x + 3)².
Так как квадрат любого числа всегда положителен, то (x + 3)² всегда ≥ 0, то есть оно всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство сводится к:
(x – 5)(x + 4) ≥ 0.
Теперь решим это неравенство:
— Когда x < –4, оба множителя (x – 5) и (x + 4) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–4; 5), (x – 5) отрицательный, а (x + 4) положительный, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 5, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –4] ∪ {–3} ∪ [5; +∞).
Ответ: x ∈ (–∞; –4] ∪ {–3} ∪ [5; +∞).
Алгебра
