Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.14 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\frac{1}{x + 2} \leq 1\);
2) \(\frac{5x + 8}{4 — x} < 2\);
3) \(\frac{2}{x + 3} \geq \frac{1}{x — 1}\).
Решить неравенство:
1) \( \frac{1}{x + 2} \le 1 \);
\( 1 — \frac{1}{x + 2} \ge 0 \);
\( x + 2 — 1 \ge 0 \);
\( x + 2 \ge 0 \);
\( (x + 2)(x + 1) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty;\,-2) \cup [-1;\,+\infty) \).
2) \( \frac{5x + 8}{4 — x} < 2 \);
\( 5x + 8 < 2(4 — x) \);
\( 5x + 8 — 2(4 — x) < 0 \);
\( \frac{7x}{x — 4} < 0 \); \( \frac{x}{x — 4} > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty;\,-0) \cup (4;\,+\infty) \).
3) \( \frac{2}{x + 3} \ge \frac{1}{x — 1} \);
\( \frac{2}{x + 3} — \frac{1}{x — 1} \ge 0 \);
\( \frac{2(x — 1)}{x + 3} \ge 0 \);
\( (x + 3)(x — 1) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in (-3;\,1) \cup (5;\,+\infty) \).
Решить неравенство:
1) \( \frac{1}{x+2} \le 1 \), область допустимых значений (ОДЗ): \( x \ne -2 \).
Переносим единицу влево к общему знаменателю: \( 1 — \frac{1}{x+2} \ge 0 \Rightarrow \frac{x+2}{x+2} — \frac{1}{x+2} \ge 0 \Rightarrow \frac{x+1}{x+2} \ge 0 \).
Критические точки (нули числителя и знаменателя): \( x=-1 \) (числитель \(=0\)), \( x=-2 \) (знаменатель \(=0\), точка выколота).
Разбиваем ось на интервалы: \( (-\infty,-2)\), \( (-2,-1)\), \( (-1,+\infty)\). Проверяем знак дроби \( \frac{x+1}{x+2} \):
— На \( (-\infty,-2) \): \(x+1<0\), \(x+2<0\) ⇒ отношение \( >0 \) (подходит).
— На \( (-2,-1) \): \(x+1<0\), \(x+2>0\) ⇒ отношение \( <0 \) (не подходит).
— На \( (-1,+\infty) \): \(x+1>0\), \(x+2>0\) ⇒ отношение \( >0 \) (подходит).
Границы: \(x=-2\) исключаем (деление на ноль), \(x=-1\) включаем (даёт \(0\ge0\)).
Ответ: \( x \in (-\infty;\,-2) \cup [-1;\,+\infty) \).
2) \( \frac{5x+8}{4-x} < 2 \), ОДЗ: \( x \ne 4 \).
Переносим \(2\) влево к общему знаменателю: \( \frac{5x+8 — 2(4-x)}{4-x} < 0 \Rightarrow \frac{5x+8-8+2x}{4-x} < 0 \Rightarrow \frac{7x}{4-x} < 0 \).
Критические точки: \( x=0 \) (числитель \(=0\)), \( x=4 \) (знаменатель \(=0\), выколота). Разбиваем: \( (-\infty,0)\), \( (0,4)\), \( (4,+\infty) \). Анализ знаков для \( \frac{7x}{4-x} \):
— На \( (-\infty,0) \): числитель \(<0\), знаменатель \(>0\) ⇒ дробь \(<0\) (подходит).
— На \( (0,4) \): числитель \(>0\), знаменатель \(>0\) ⇒ \(>0\) (не подходит).
— На \( (4,+\infty) \): числитель \(>0\), знаменатель \(<0\) ⇒ \(<0\) (подходит).
Границы: \(x=0\) не включаем (нестрого: \(0<0\) ложно), \(x=4\) исключаем (нет в ОДЗ).
Ответ: \( x \in (-\infty,\,0) \cup (4,\,+\infty) \).
3) \( \frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1} \), ОДЗ: \( x \ne -3,\,1 \).
Переносим вправо к общему знаменателю: \( \frac{2}{x+3} — \frac{1}{x-1} \ge 0 \Rightarrow \frac{2(x-1) — (x+3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \Rightarrow \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} \ge 0 \).
Критические точки: \( x=-3 \) (знак меняется, ОДЗ), \( x=1 \) (ОДЗ), \( x=5 \) (числитель \(=0\)). Интервалы: \( (-\infty,-3)\), \( (-3,1)\), \( (1,5)\), \( (5,+\infty) \). Знак выражения \( \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} \):
— На \( (-\infty,-3) \): числитель \(x-5<0\); знаменатель \( (x+3)(x-1) \) имеет знаки \((-)(-)\Rightarrow(+)\); итог \( (-)/(+) = — \) (не подходит).
— На \( (-3,1) \): \(x-5<0\); знаменатель \((+)(-)=(-)\); итог \( (-)/(-)=+ \) (подходит).
— На \( (1,5) \): \(x-5<0\); знаменатель \((+)(+)=(+)\); итог \( (-)/(+)= — \) (не подходит).
— На \( (5,+\infty) \): \(x-5>0\); знаменатель \((+)(+)=(+)\); итог \( (+)/(+)=+ \) (подходит).
Границы: \(x=-3,1\) исключаем (нет в ОДЗ), \(x=5\) включаем (даёт \(0\ge0\)).
Ответ: \( x \in (-3,\,1) \cup [5,\,+\infty) \).
