Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\frac{1}{x — 1} + \frac{1}{x + 1} \ge \frac{3}{x}\);
2) \(\frac{12}{x^2 — 4} — \frac{7}{x^2 — 9} \le 0\).
Решить неравенство:
1)\( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \ge \frac{3}{x} \);
\( \frac{3}{x} — \frac{1}{x-1} — \frac{1}{x+1} \le 0 \);
\( \frac{3(x-1)(x+1) — x(x+1) — x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \le 0 \);
В числителе раскроем скобки:
\( 3x^2 — 3 — x^2 — x — x^2 + x = x^2 — 3 \);
В знаменателе: \( x(x-1)(x+1) \);
Получаем:
\( \frac{x^2 — 3}{x(x-1)(x+1)} \le 0 \);
\( \frac{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{x(x-1)(x+1)} \le 0 \);
\( (x+\sqrt{3})(x+1)(x-1)(x-\sqrt{3}) \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup (-1; 0) \cup (1; \sqrt{3}] \).
2)\( \frac{12}{x^2 — 4} + \frac{7}{x^2 — 9} \le 0 \);
\( \frac{12(x^2 — 9) — 7(x^2 — 4)}{(x^2 — 4)(x^2 — 9)} \le 0 \);
В числителе:
\( 12x^2 — 108 — 7x^2 + 28 = 5x^2 — 80 \);
В знаменателе: \( (x^2 — 4)(x^2 — 9) \);
Получаем:
\( \frac{5x^2 — 80}{(x^2 — 4)(x^2 — 9)} \le 0 \);
\( \frac{5(x^2 — 16)}{(x^2 — 4)(x^2 — 9)} \le 0 \);
\( (x + 4)(x — 4)(x — 2)(x + 2)(x — 3)(x + 3) \le 0 \);
Ответ: \( x \in [-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4] \).
Решить неравенство:
1)\( \frac{1}{x — 1} + \frac{1}{x + 1} \ge \frac{3}{x} \)
Переносим все в одну сторону:
\( \frac{1}{x — 1} + \frac{1}{x + 1} — \frac{3}{x} \ge 0 \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{3}{x} — \frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} \le 0 \)
Общий знаменатель: \( x(x — 1)(x + 1) \)
В числителе:
\( 3(x — 1)(x + 1) — x(x + 1) — x(x — 1) \)
\( = 3(x^2 — 1) — x(x + 1) — x(x — 1) \)
\( = 3x^2 — 3 — (x^2 + x) — (x^2 — x) \)
\( = 3x^2 — 3 — x^2 — x — x^2 + x \)
\( = 3x^2 — 3 — 2x^2 \)
\( = x^2 — 3 \)
В итоге получаем неравенство:
\( \frac{x^2 — 3}{x(x — 1)(x + 1)} \le 0 \)
Числитель равен нулю при \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \).
Знаменатель равен нулю при \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \) (эти точки выколоты).
Рассматриваем интервалы: \( (-\infty; -\sqrt{3}],\, (-\sqrt{3}; -1),\, (-1; 0),\, (0; 1),\, (1; \sqrt{3}],\, (\sqrt{3}; +\infty) \)
Определяем знак на каждом промежутке, учитывая четность и нечетность степеней множителей. Включаем точки, где числитель обращается в ноль, кроме выколотых точек знаменателя.
Ответ: \( x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup (-1; 0) \cup (1; \sqrt{3}] \).
2)\( \frac{12}{x^2 — 4} + \frac{7}{x^2 — 9} \le 0 \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{12(x^2 — 9) — 7(x^2 — 4)}{(x^2 — 4)(x^2 — 9)} \le 0 \)
Раскрываем скобки в числителе:
\( 12x^2 — 108 — 7x^2 + 28 = 5x^2 — 80 \)
Итак, неравенство:
\( \frac{5x^2 — 80}{(x^2 — 4)(x^2 — 9)} \le 0 \)
Распишем знаменатель на множители:
\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \),\quad \( x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3) \)
Распишем числитель:
\( 5x^2 — 80 = 5(x^2 — 16) = 5(x — 4)(x + 4) \)
Получаем:
\( \frac{5(x — 4)(x + 4)}{(x — 2)(x + 2)(x — 3)(x + 3)} \le 0 \)
или
\( (x — 4)(x + 4)(x — 2)(x + 2)(x — 3)(x + 3) \le 0 \)
Критические точки: \( x = -4, -3, -2, 2, 3, 4 \) (точки, где знаменатель обращается в ноль, выколоты).
Строим числовую прямую, расставляем точки и определяем знак на каждом промежутке, учитывая четность и нечетность факторов. Включаем точки, где числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Ответ: \( x \in [-4; -3) \cup (-2; 2) \cup (3; 4] \).
