Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
2) 12/(x^2-4)-7/(x^2-9)≤0.
Решить неравенство:
1)
1/(x − 1) + 1/(x + 1) ≥ 3/x;
3/x − 1/(x − 1) − 1/(x + 1) ≤ 0;
(3(x − 1)(x + 1) − x(x + 1) − x(x − 1)) / (x(x − 1)(x + 1)) ≤ 0;
В числителе раскроем скобки:
3x² − 3 − x² − x − x² + x = x² − 3;
В знаменателе: x(x − 1)(x + 1);
Получаем:
(x² − 3) / (x(x − 1)(x + 1)) ≤ 0;
(x + √3)(x − √3) / (x(x − 1)(x + 1)) ≤ 0;
(x + √3)(x + 1)(x − 1)(x − √3) ≤ 0;
Ответ: x ∈ (−∞; −√3] ∪ (−1; 0) ∪ (1; √3].
2)
12/(x² − 4) + 7/(x² − 9) ≤ 0;
12(x² − 9) − 7(x² − 4) / ((x² − 4)(x² − 9)) ≤ 0;
В числителе:
12x² − 108 − 7x² + 28 = 5x² − 80;
В знаменателе: (x² − 4)(x² − 9);
Получаем:
(5x² − 80) / ((x² − 4)(x² − 9)) ≤ 0;
5(x² − 16) / ((x² − 4)(x² − 9)) ≤ 0;
(x + 4)(x − 4)(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) ≤ 0;
Ответ: x ∈ [−4; −3) ∪ (−2; 2) ∪ (3; 4].
Решить неравенство:
1)
1/(x − 1) + 1/(x + 1) ≥ 3/x
Переносим все в одну сторону:
1/(x − 1) + 1/(x + 1) − 3/x ≥ 0
Приводим к общему знаменателю:
3/x − 1/(x − 1) − 1/(x + 1) ≤ 0
Общий знаменатель: x(x − 1)(x + 1)
В числителе:
3(x − 1)(x + 1) − x(x + 1) − x(x − 1)
= 3(x² − 1) − x(x + 1) − x(x − 1)
= 3x² − 3 − (x² + x) − (x² − x)
= 3x² − 3 − x² − x − x² + x
= 3x² − 3 − 2x²
= x² − 3
В итоге получаем неравенство:
(x² − 3) / (x(x − 1)(x + 1)) ≤ 0
Числитель равен нулю при x = √3 и x = −√3.
Знаменатель равен нулю при x = 0, x = 1, x = −1 (эти точки выколоты).
Рассматриваем интервалы: (−∞; −√3], (−√3; −1), (−1; 0), (0; 1), (1; √3], (√3; +∞)
Определяем знак на каждом промежутке, учитывая четность и нечетность степеней множителей. Включаем точки, где числитель обращается в ноль, кроме выколотых точек знаменателя.
После проверки:
Ответ: x ∈ (−∞; −√3] ∪ (−1; 0) ∪ (1; √3]
2)
12/(x² − 4) + 7/(x² − 9) ≤ 0
Приводим к общему знаменателю:
12(x² − 9) − 7(x² − 4)
—————————- ≤ 0
(x² − 4)(x² − 9)
Раскрываем скобки в числителе:
12x² − 108 − 7x² + 28 = 5x² − 80
Итак, неравенство:
(5x² − 80) / ((x² − 4)(x² − 9)) ≤ 0
Распишем знаменатель на множители:
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Распишем числитель:
5x² − 80 = 5(x² − 16) = 5(x − 4)(x + 4)
Получаем:
5(x − 4)(x + 4) / [(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)] ≤ 0
Или
(x − 4)(x + 4)(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) ≤ 0
Критические точки: x = −4, −3, −2, 2, 3, 4 (точки, где знаменатель обращается в ноль, выколоты).
Строим числовую прямую, расставляем точки и определяем знак на каждом промежутке, учитывая четность и нечетность факторов. Включаем точки, где числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Ответ: x ∈ [−4; −3) ∪ (−2; 2) ∪ (3; 4]
Алгебра
