Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (x − 3)√(14 + 5x − x²) > 0;
2) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≥ 0;
3) (x − 3)√(14 + 5x − x²) < 0;
4) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≤ 0;
5) (x² − 25)√(16 − x²) < 0;
6) (x² − 25)√(16 − x²) > 0;
7) (x² − 25)√(16 − x²) ≤ 0;
8) (x² − 25)√(16 − x²) ≥ 0;
Решить неравенство:
1) (x − 3)√(14 + 5x − x²) > 0;
Выражение имеет смысл при:
14 + 5x − x² ≥ 0;
x² − 5x − 14 ≤ 0;
D = 25 + 56 = 81;
x₁ = (5 − 9)/2 = −2; x₂ = (5 + 9)/2 = 7;
(x + 2)(x − 7) ≤ 0;
−2 ≤ x ≤ 7.
Неравенство:
x − 3 > 0;
x > 3.
Ответ: x ∈ (3; 7).
2) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≥ 0;
Выражение имеет смысл при:
14 + 5x − x² ≥ 0;
x² − 5x − 14 ≤ 0;
−2 ≤ x ≤ 7.
Неравенство:
x − 3 ≥ 0;
x ≥ 3.
Ответ: x ∈ {−2} ∪ [3; 7].
3) (x − 3)√(14 + 5x − x²) < 0;
Выражение имеет смысл при:
14 + 5x − x² ≥ 0;
x² − 5x − 14 ≤ 0;
−2 ≤ x ≤ 7.
Неравенство:
x − 3 < 0;
x < 3.
Ответ: x ∈ (−2; 3).
4) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≤ 0;
Выражение имеет смысл при:
14 + 5x − x² ≥ 0;
x² − 5x − 14 ≤ 0;
−2 ≤ x ≤ 7.
Неравенство:
x − 3 ≤ 0;
x ≤ 3.
Ответ: x ∈ [−2; 3] ∪ {7}.
5) (x² − 25)√(16 − x²) < 0;
Выражение имеет смысл при:
16 − x² ≥ 0;
x² − 16 ≤ 0;
−4 ≤ x ≤ 4.
Неравенство:
x² − 25 < 0;
(x + 5)(x − 5) < 0;
−5 < x < 5.
Ответ: x ∈ (−4; 4).
6) (x² − 25)√(16 − x²) > 0;
Выражение имеет смысл при:
16 − x² ≥ 0;
x² − 16 ≤ 0;
−4 ≤ x ≤ 4.
Неравенство:
x² − 25 > 0;
(x + 5)(x − 5) > 0;
x < −5 или x > 5.
Но эти промежутки не входят в область допустимых значений.
Ответ: x ∈ ∅.
7) (x² − 25)√(16 − x²) ≤ 0;
Выражение имеет смысл при:
16 − x² ≥ 0;
x² − 16 ≤ 0;
−4 ≤ x ≤ 4.
Неравенство:
x² − 25 ≤ 0;
(x + 5)(x − 5) ≤ 0;
−5 ≤ x ≤ 5.
Пересечение с областью допустимых значений:
Ответ: x ∈ [−4; 4].
8) (x² − 25)√(16 − x²) ≥ 0;
Выражение имеет смысл при:
16 − x² ≥ 0;
x² − 16 ≤ 0;
−4 ≤ x ≤ 4.
Неравенство:
x² − 25 ≥ 0;
(x + 5)(x − 5) ≥ 0;
x ≤ −5 или x ≥ 5.
Пересечение с областью допустимых значений:
Ответ: x ∈ {−4; 4}.
Решить неравенство:
1) (x − 3)√(14 + 5x − x²) > 0;
Область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
14 + 5x − x² ≥ 0.
Рассмотрим это как квадратное неравенство относительно x:
−x² + 5x + 14 ≥ 0
или
x² − 5x − 14 ≤ 0.
Решим квадратное уравнение:
D = (−5)² − 4·1·(−14) = 25 + 56 = 81;
x₁ = (5 − 9)/2 = −2, x₂ = (5 + 9)/2 = 7.
Отсюда −2 ≤ x ≤ 7.
Само неравенство:
(x − 3)√(14 + 5x − x²) > 0
Так как подкоренное выражение всегда ≥ 0, знак выражения зависит от (x − 3).
√(14 + 5x − x²) > 0 при 14 + 5x − x² > 0 (строго больше нуля), то есть при −2 < x < 7.
(x − 3) > 0, то есть x > 3.
Пересечение промежутков:
ОДЗ: −2 ≤ x ≤ 7
x > 3 (и x < 7 из строгого неравенства под корнем)
Значит, решение: x ∈ (3; 7).
Ответ: x ∈ (3; 7).
2) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≥ 0;
ОДЗ: −2 ≤ x ≤ 7
Неравенство:
(x − 3)√(14 + 5x − x²) ≥ 0
Это возможно в двух случаях:
а) (x − 3) > 0 и подкоренное выражение > 0: x > 3 и −2 < x < 7
б) (x − 3) = 0 и подкоренное выражение ≥ 0: x = 3 и −2 ≤ 3 ≤ 7 (верно)
в) √(14 + 5x − x²) = 0, то есть x = −2 или x = 7
Точка x = −2: (−2 − 3)√(0) = 0
Точка x = 7: (7 − 3)√(0) = 0
Объединяем все подходящие значения:
x = −2, x = 3, x = 7 и x > 3 до 7.
Ответ: x ∈ {−2} ∪ [3; 7]
3) (x − 3)√(14 + 5x − x²) < 0;
ОДЗ: −2 ≤ x ≤ 7
Неравенство:
Здесь либо (x − 3) < 0 и √(14 + 5x − x²) > 0, либо (x − 3) > 0 и подкоренное выражение = 0 (но при x − 3 > 0 и подкоренное выражение = 0, результат будет 0, а не < 0).
Рассматриваем случай (x − 3) < 0, то есть x < 3, и подкоренное выражение > 0: −2 < x < 7.
Пересечение: x ∈ (−2; 3).
Ответ: x ∈ (−2; 3).
4) (x − 3)√(14 + 5x − x²) ≤ 0;
ОДЗ: −2 ≤ x ≤ 7
Неравенство:
(x − 3)√(14 + 5x − x²) ≤ 0
Случаи:
а) (x − 3) < 0 и √(14 + 5x − x²) > 0: x < 3, −2 < x < 7
б) (x − 3) = 0 и √(14 + 5x − x²) ≥ 0: x = 3, √(14 + 15 − 9) = √20 ≥ 0
в) √(14 + 5x − x²) = 0: x = −2, x = 7
Промежутки: x ∈ [−2; 3] ∪ {7}
Ответ: x ∈ [−2; 3] ∪ {7}
5) (x² − 25)√(16 − x²) < 0;
ОДЗ: 16 − x² ≥ 0
x² − 16 ≤ 0
−4 ≤ x ≤ 4
Неравенство:
x² − 25 < 0
(x + 5)(x − 5) < 0
−5 < x < 5
Пересечение: −4 ≤ x ≤ 4 и −5 < x < 5
Значит, x ∈ (−4; 4)
Ответ: x ∈ (−4; 4)
6) (x² − 25)√(16 − x²) > 0;
ОДЗ: −4 ≤ x ≤ 4
Неравенство:
x² − 25 > 0
(x + 5)(x − 5) > 0
x < −5 или x > 5
Пересечение с ОДЗ невозможно.
Ответ: x ∈ ∅
7) (x² − 25)√(16 − x²) ≤ 0;
ОДЗ: −4 ≤ x ≤ 4
Неравенство:
x² − 25 ≤ 0
(x + 5)(x − 5) ≤ 0
−5 ≤ x ≤ 5
Пересечение: x ∈ [−4; 4]
Ответ: x ∈ [−4; 4]
8) (x² − 25)√(16 − x²) ≥ 0;
ОДЗ: −4 ≤ x ≤ 4
Неравенство:
x² − 25 ≥ 0
(x + 5)(x − 5) ≥ 0
x ≤ −5 или x ≥ 5
Пересечение с ОДЗ: x = −4 и x = 4
Ответ: x ∈ {−4; 4}
Алгебра
