Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\)
2) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \geq 0\)
3) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} < 0\)
4) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \leq 0\)
5) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} < 0\)
6) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} > 0\)
7) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \leq 0\)
8) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \geq 0\)
Решить неравенство:
1) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(14 + 5x − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 5x − 14 \leq 0\);
\(D = 25 + 56 = 81\);
\(x_{1} = \frac{5 − 9}{2} = −2;\; x_{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\);
\((x + 2)(x − 7) \leq 0\);
\(−2 \leq x \leq 7\).
Неравенство:
\(x − 3 > 0\);
\(x > 3\).
Ответ: \(x \in (3; 7)\).
2) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \geq 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(14 + 5x − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 5x − 14 \leq 0\);
\(−2 \leq x \leq 7\).
Неравенство:
\(x − 3 \geq 0\);
\(x \geq 3\).
Ответ: \(x \in \{-2\} \cup [3; 7]\).
3) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} < 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(14 + 5x − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 5x − 14 \leq 0\);
\(−2 \leq x \leq 7\).
Неравенство:
\(x − 3 < 0\);
\(x < 3\).
Ответ: \(x \in (−2; 3)\).
4) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \leq 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(14 + 5x − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 5x − 14 \leq 0\);
\(−2 \leq x \leq 7\).
Неравенство:
\(x − 3 \leq 0\);
\(x \leq 3\).
Ответ: \(x \in [−2; 3] \cup \{7\}\).
5) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} < 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(16 − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 16 \leq 0\);
\(−4 \leq x \leq 4\).
Неравенство:
\(x^{2} − 25 < 0\);
\((x + 5)(x − 5) < 0\);
\(−5 < x < 5\).
Ответ: \(x \in (−4; 4)\).
6) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} > 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(16 − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 16 \leq 0\);
\(−4 \leq x \leq 4\).
Неравенство:
\(x^{2} − 25 > 0\);
\((x + 5)(x − 5) > 0\);
\(x < −5\) или \(x > 5\).
Но эти промежутки не входят в область допустимых значений.
Ответ: \(x \in \emptyset\).
7) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \leq 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(16 − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 16 \leq 0\);
\(−4 \leq x \leq 4\).
Неравенство:
\(x^{2} − 25 \leq 0\);
\((x + 5)(x − 5) \leq 0\);
\(−5 \leq x \leq 5\).
Пересечение с областью допустимых значений:
Ответ: \(x \in [−4; 4]\).
8) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \geq 0\);
Выражение имеет смысл при:
\(16 − x^{2} \geq 0\);
\(x^{2} − 16 \leq 0\);
\(−4 \leq x \leq 4\).
Неравенство:
\(x^{2} − 25 \geq 0\);
\((x + 5)(x − 5) \geq 0\);
\(x \leq −5\) или \(x \geq 5\).
Пересечение с областью допустимых значений:
Ответ: \(x \in \{−4; 4\}.\)
1) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\);
Область допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
\(14 + 5x − x^{2} \geq 0\).
Рассмотрим это как квадратное неравенство относительно \(x\):
\(-x^{2} + 5x + 14 \geq 0\)
или
\(x^{2} − 5x − 14 \leq 0\).
Решим квадратное уравнение:
\(D = (−5)^{2} − 4 \cdot 1 \cdot (−14) = 25 + 56 = 81\);
\(x_{1} = \frac{5 − 9}{2} = −2\), \(x_{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\).
Отсюда \(−2 \leq x \leq 7\).
Само неравенство:
\((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\)
Так как подкоренное выражение всегда \(\geq 0\), знак выражения зависит от \((x − 3)\).
\(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\) при \(14 + 5x − x^{2} > 0\) (строго больше нуля), то есть при \(−2 < x < 7\). \((x − 3) > 0\), то есть \(x > 3\).
Пересечение промежутков:
ОДЗ: \(−2 \leq x \leq 7\)
\(x > 3\) (и \(x < 7\) из строгого неравенства под корнем) Значит, решение: \(x \in (3; 7)\). Ответ: \(x \in (3; 7)\). 2) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \geq 0\); ОДЗ: \(−2 \leq x \leq 7\) Неравенство: \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \geq 0\) Это возможно в двух случаях: а) \((x − 3) > 0\) и подкоренное выражение \(> 0\): \(x > 3\) и \(−2 < x < 7\) б) \((x − 3) = 0\) и подкоренное выражение \(\geq 0\): \(x = 3\) и \(−2 \leq 3 \leq 7\) (верно) в) \(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} = 0\), то есть \(x = −2\) или \(x = 7\) Точка \(x = −2\): \((−2 − 3)\sqrt{0} = 0\) Точка \(x = 7\): \((7 − 3)\sqrt{0} = 0\) Объединяем все подходящие значения: \(x = −2, x = 3, x = 7\) и \(x > 3\) до \(7\).
Ответ: \(x \in \{-2\} \cup [3; 7]\)
3) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} < 0\);
ОДЗ: \(−2 \leq x \leq 7\)
Неравенство:
Здесь либо \((x − 3) < 0\) и \(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\), либо \((x − 3) > 0\) и подкоренное выражение \(= 0\) (но при \(x − 3 > 0\) и подкоренное выражение \(= 0\), результат будет 0, а не \(< 0\)).
Рассматриваем случай \((x − 3) < 0\), то есть \(x < 3\), и подкоренное выражение \(> 0\): \(−2 < x < 7\).
Пересечение: \(x \in (−2; 3)\).
Ответ: \(x \in (−2; 3)\).
4) \((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \leq 0\);
ОДЗ: \(−2 \leq x \leq 7\)
Неравенство:
\((x − 3)\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \leq 0\)
Случаи:
а) \((x − 3) < 0\) и \(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} > 0\): \(x < 3, −2 < x < 7\)
б) \((x − 3) = 0\) и \(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} \geq 0\): \(x = 3\), \(\sqrt{14 + 15 − 9} = \sqrt{20} \geq 0\)
в) \(\sqrt{14 + 5x − x^{2}} = 0\): \(x = −2, x = 7\)
Промежутки: \(x \in [−2; 3] \cup \{7\}\)
Ответ: \(x \in [−2; 3] \cup \{7\}\)
5) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} < 0\);
ОДЗ: \(16 − x^{2} \geq 0\)
\(x^{2} − 16 \leq 0\)
\(−4 \leq x \leq 4\)
Неравенство:
\(x^{2} − 25 < 0\)
\((x + 5)(x − 5) < 0\)
\(−5 < x < 5\)
Пересечение: \(−4 \leq x \leq 4\) и \(−5 < x < 5\) Значит, \(x \in (−4; 4)\) Ответ: \(x \in (−4; 4)\) 6) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} > 0\);
ОДЗ: \(−4 \leq x \leq 4\)
Неравенство:
\(x^{2} − 25 > 0\)
\((x + 5)(x − 5) > 0\)
\(x < −5\) или \(x > 5\)
Пересечение с ОДЗ невозможно.
Ответ: \(x \in \emptyset\)
7) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \leq 0\);
ОДЗ:\(−4 \leq x \leq 4\)
Неравенство:
\(x^{2} − 25 \leq 0\)
\((x + 5)(x − 5) \leq 0\)
\(−5 \leq x \leq 5\)
Пересечение: \(x \in [−4; 4]\)
Ответ: \(x \in [−4; 4]\)
8) \((x^{2} − 25)\sqrt{16 − x^{2}} \geq 0\);
ОДЗ: \(−4 \leq x \leq 4\)
Неравенство:
\(x^{2} − 25 \geq 0\)
\((x + 5)(x − 5) \geq 0\)
\(x \leq −5\) или \(x \geq 5\)
Пересечение с ОДЗ: \(x = −4\) и \(x = 4\)
Ответ: \(x \in \{-4; 4\}\)
