Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.23 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство: \(\left|\frac{x}{x^{2}-9}\right| \le \frac{x}{x^{2}-9}\).
Решить неравенство:
\(\left|\frac{x}{x^{2} — 9}\right| \le \frac{x}{x^{2} — 9}\);
1) По определению модуля числа:
\(\left|\frac{x}{x^{2} — 9}\right| \ge 0\);
2) Если \(\frac{x}{x^{2} — 9} > 0\), тогда:
\(\left|\frac{x}{x^{2} — 9}\right| = \frac{x}{x^{2} — 9}\);
3) Значит, неравенство верно, если:
\(\frac{x}{x^{2} — 9} \ge 0\);
\(\frac{x}{(x + 3)(x — 3)} \ge 0\);
\((x + 3)\,x\,(x — 3) \ge 0\);
Ответ: \(x \in (-3; 0] \cup (3; +\infty)\).
Решить неравенство:
\(\left|\frac{x}{x^{2} − 9}\right| \le \frac{x}{x^{2} − 9}\);
1) По определению модуля числа:
\(\left|\frac{x}{x^{2} − 9}\right|\) всегда больше или равен нулю для любых допустимых значений \(x\):
\(\left|\frac{x}{x^{2} − 9}\right| \ge 0\);
Это означает, что выражение \(\frac{x}{x^{2} − 9}\) должно быть определено, то есть знаменатель не равен нулю:
\(x^{2} − 9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3\) и \(x \ne −3\).
2) Рассмотрим случай, когда \(\frac{x}{x^{2} − 9} > 0\):
В этом случае знак дроби положителен, а значит:
\(\left|\frac{x}{x^{2} − 9}\right| = \frac{x}{x^{2} − 9}\)
Подставляем в неравенство:
\(\frac{x}{x^{2} − 9} \le \frac{x}{x^{2} − 9}\)
Это верно для всех \(x\), для которых дробь положительна и определена, то есть \(\frac{x}{x^{2} − 9} > 0\) и \(x \ne 3, x \ne −3\).
3) Рассмотрим случай, когда \(\frac{x}{x^{2} − 9} < 0\):
В этом случае:
\(\left|\frac{x}{x^{2} − 9}\right| = −\frac{x}{x^{2} − 9}\)
Подставляем:
\(−\frac{x}{x^{2} − 9} \le \frac{x}{x^{2} − 9}\)
\(\Rightarrow −x \le x\)
\(\Rightarrow −x − x \le 0\)
\(\Rightarrow −2x \le 0\)
\(\Rightarrow x \ge 0\)
Но для \(\frac{x}{x^{2} − 9} < 0\), а \(x \ge 0\), это возможно только если \(x = 0\). Проверим \(x = 0\):
\(\frac{0}{0 − 9} = 0\). \(\frac{|0|}{9} = 0\) и \(\frac{0}{9} = 0\), то есть равенство выполняется.
4) Теперь объединим решения:
Рассмотрим знак дроби \(\frac{x}{x^{2} − 9}\):
Числитель \(x\), знаменатель \((x + 3)(x − 3)\).
Найдем промежутки, где \(\frac{x}{x^{2} − 9} \ge 0\):
При \(x > 3\) — положительно;
При \(x = 0\) — равно нулю;
При \(x < −3\) — положительно.
В точках \(x = 3\) и \(x = −3\) выражение не определено.
То есть, объединяя подходящие интервалы, получаем:
\(x \in (−3; 0] \cup (3; +\infty)\)
Ответ: \(x \in (−3; 0] \cup (3; +\infty)\).
