ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

1) \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \);

2) \( \frac{x + 9}{x — 11} > 0 \);

3) \( \frac{x + 5,2}{x — 1,4} \leq 0 \);

4) \( \frac{5 — x}{x — 6} \geq 0 \);

5) \( \frac{(x + 15)(x — 2)}{x — 15} \geq 0 \);

6) \( \frac{x — 3,8}{(x + 5)(x — 16)} \leq 0 \).

Найти множество решений неравенства:

1) \( \frac{x-8}{x+7} < 0 \);
Ответ: \( x \in (-7; 8) \).

2) \( \frac{x+9}{x-11} > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).

3) \( \frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0 \);
Ответ: \( x \in [-5,2; 1,4) \).

4) \( \frac{5-x}{x-6} \ge 0 \);
\( -\frac{x-5}{x-6} \ge 0 \);
\( \frac{x-5}{x-6} \le 0 \);
Ответ: \( x \in [5; 6) \).

5) \( \frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0 \);
Ответ: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).

6) \( \frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16) \).

1) \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \)
Рассмотрим неравенство: \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \).
Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.
Точки смены знаков: \( x = 8 \) и \( x = -7 \).
Интервалы:
— \( x < -7 \): оба множителя отрицательны ⇒ дробь положительна;
— \( -7 < x < 8 \): числитель отрицателен, знаменатель положителен ⇒ дробь отрицательна (решение);
— \( x > 8 \): оба положительны ⇒ дробь положительна.
Решение: \( x \in (-7; 8) \).

Ответ: \( x \in (-7; 8) \).

2) \( \frac{x + 9}{x — 11} > 0 \)
Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака.
Точки: \( x = -9 \), \( x = 11 \).
— \( x < -9 \): оба отрицательны ⇒ положительна (решение);
— \( -9 < x < 11 \): знаки разные ⇒ отрицательна;
— \( x > 11 \): оба положительны ⇒ положительна (решение).
Решение: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).

3) \( \frac{x + 5,2}{x — 1,4} \le 0 \)
Дробь ≤ 0, если знаки разные или числитель равен 0.
Точки: \( x = -5,2 \), \( x = 1,4 \).
— \( x < -5,2 \): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен ⇒ положительна;
— \( x = -5,2 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( -5,2 < x < 1,4 \): знаки разные ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 1,4 \): оба положительны ⇒ положительна.
Решение: \( x \in [-5,2; 1,4) \).

Ответ: \( x \in [-5,2; 1,4) \).

4) \( \frac{5 — x}{x — 6} \ge 0 \)
Перепишем: \( -\frac{x — 5}{x — 6} \ge 0 \) ⇒ \( \frac{x — 5}{x — 6} \le 0 \).
Точки: \( x = 5 \), \( x = 6 \).
— \( x < 5 \): оба множителя отрицательны ⇒ положительна;
— \( x = 5 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 5 < x < 6 \): знаки разные ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 6 \): оба положительны ⇒ положительна.
Решение: \( x \in [5; 6) \).

Ответ: \( x \in [5; 6) \).

5) \( \frac{(x + 15)(x — 2)}{x — 15} \ge 0 \)
Знаки одинаковые или числитель 0.
Точки: \( x = -15 \), \( x = 2 \), \( x = 15 \).
— \( x < -15 \): оба множителя числителя отрицательны, знаменатель отрицателен ⇒ отрицательна;
— \( x = -15 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( -15 < x < 2 \): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен ⇒ положительна (решение);
— \( x = 2 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 2 < x < 15 \): знаки разные ⇒ отрицательна;
— \( x > 15 \): оба положительны ⇒ положительна (решение).
Решение: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).

Ответ: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).

6) \( \frac{x — 3,8}{(x + 5)(x — 16)} \le 0 \)
Точки: \( x = -5 \), \( x = 3,8 \), \( x = 16 \).
— \( x < -5 \): числитель отрицателен, оба множителя знаменателя отрицательны ⇒ положительна;
— \( -5 < x < 3,8 \): числитель отрицателен, один множитель знаменателя положителен ⇒ отрицательна (решение);
— \( x = 3,8 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 3,8 < x < 16 \): числитель положителен, знаменатель отрицателен ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 16 \): всё положительно ⇒ положительна.
Решение: \( x \in (-5; 3,8] \cup (3,8; 16) \) с учётом того, что \( x = -5 \) и \( x = 16 \) исключаются.

Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16) \).