Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите множество решений неравенства:
1) \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \);
2) \( \frac{x + 9}{x — 11} > 0 \);
3) \( \frac{x + 5,2}{x — 1,4} \leq 0 \);
4) \( \frac{5 — x}{x — 6} \geq 0 \);
5) \( \frac{(x + 15)(x — 2)}{x — 15} \geq 0 \);
6) \( \frac{x — 3,8}{(x + 5)(x — 16)} \leq 0 \).
Найти множество решений неравенства:
1) \( \frac{x-8}{x+7} < 0 \);
Ответ: \( x \in (-7; 8) \).
2) \( \frac{x+9}{x-11} > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).
3) \( \frac{x+5,2}{x-1,4} \le 0 \);
Ответ: \( x \in [-5,2; 1,4) \).
4) \( \frac{5-x}{x-6} \ge 0 \);
\( -\frac{x-5}{x-6} \ge 0 \);
\( \frac{x-5}{x-6} \le 0 \);
Ответ: \( x \in [5; 6) \).
5) \( \frac{(x+15)(x-2)}{x-15} \ge 0 \);
Ответ: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).
6) \( \frac{x-3,8}{(x+5)(x-16)} \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16) \).
1) \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \)
Рассмотрим неравенство: \( \frac{x — 8}{x + 7} < 0 \).
Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.
Точки смены знаков: \( x = 8 \) и \( x = -7 \).
Интервалы:
— \( x < -7 \): оба множителя отрицательны ⇒ дробь положительна;
— \( -7 < x < 8 \): числитель отрицателен, знаменатель положителен ⇒ дробь отрицательна (решение);
— \( x > 8 \): оба положительны ⇒ дробь положительна.
Решение: \( x \in (-7; 8) \).
Ответ: \( x \in (-7; 8) \).
2) \( \frac{x + 9}{x — 11} > 0 \)
Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака.
Точки: \( x = -9 \), \( x = 11 \).
— \( x < -9 \): оба отрицательны ⇒ положительна (решение);
— \( -9 < x < 11 \): знаки разные ⇒ отрицательна;
— \( x > 11 \): оба положительны ⇒ положительна (решение).
Решение: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -9) \cup (11; +\infty) \).
3) \( \frac{x + 5,2}{x — 1,4} \le 0 \)
Дробь ≤ 0, если знаки разные или числитель равен 0.
Точки: \( x = -5,2 \), \( x = 1,4 \).
— \( x < -5,2 \): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен ⇒ положительна;
— \( x = -5,2 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( -5,2 < x < 1,4 \): знаки разные ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 1,4 \): оба положительны ⇒ положительна.
Решение: \( x \in [-5,2; 1,4) \).
Ответ: \( x \in [-5,2; 1,4) \).
4) \( \frac{5 — x}{x — 6} \ge 0 \)
Перепишем: \( -\frac{x — 5}{x — 6} \ge 0 \) ⇒ \( \frac{x — 5}{x — 6} \le 0 \).
Точки: \( x = 5 \), \( x = 6 \).
— \( x < 5 \): оба множителя отрицательны ⇒ положительна;
— \( x = 5 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 5 < x < 6 \): знаки разные ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 6 \): оба положительны ⇒ положительна.
Решение: \( x \in [5; 6) \).
Ответ: \( x \in [5; 6) \).
5) \( \frac{(x + 15)(x — 2)}{x — 15} \ge 0 \)
Знаки одинаковые или числитель 0.
Точки: \( x = -15 \), \( x = 2 \), \( x = 15 \).
— \( x < -15 \): оба множителя числителя отрицательны, знаменатель отрицателен ⇒ отрицательна;
— \( x = -15 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( -15 < x < 2 \): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен ⇒ положительна (решение);
— \( x = 2 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 2 < x < 15 \): знаки разные ⇒ отрицательна;
— \( x > 15 \): оба положительны ⇒ положительна (решение).
Решение: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).
Ответ: \( x \in [-15; 2] \cup (15; +\infty) \).
6) \( \frac{x — 3,8}{(x + 5)(x — 16)} \le 0 \)
Точки: \( x = -5 \), \( x = 3,8 \), \( x = 16 \).
— \( x < -5 \): числитель отрицателен, оба множителя знаменателя отрицательны ⇒ положительна;
— \( -5 < x < 3,8 \): числитель отрицателен, один множитель знаменателя положителен ⇒ отрицательна (решение);
— \( x = 3,8 \): числитель 0 ⇒ дробь 0 (решение);
— \( 3,8 < x < 16 \): числитель положителен, знаменатель отрицателен ⇒ отрицательна (решение);
— \( x > 16 \): всё положительно ⇒ положительна.
Решение: \( x \in (-5; 3,8] \cup (3,8; 16) \) с учётом того, что \( x = -5 \) и \( x = 16 \) исключаются.
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [3,8; 16) \).
